1、静宁一中2020届高三级第十次模拟试题(卷)数学(理科)一选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，根据交集的定义运算可得答案.【详解】由题意可得：或，结合交集的定义可知：.故选：D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题.2.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求得，根据共轭复数的概念得到，根据复数的几何意义可得答案.【详解】.，所以复数对应的点为.故选：A.【点睛】本题
2、考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义，属于基础题.3.已知，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得出，比较大小可得选项.【详解】因，所以，.所以，故选：A.【点睛】本题考查指数、对数、幂的大小的比较，通常运用指数函数、对数函数的单调性，与比较出大小关系，再考虑转化成同底数，同指数，同真数，根据指数函数，对数函数的单调性进行大小的比较，属于中档题4.若直线与垂直，则二项式的展开式中x的系数为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】分析】由直线与垂直，求出.写出二项式的展开式的通项，令x的次数为1
3、，求出，即得x的系数.【详解】由题意可得：，则.的展开式的通项，令，可得，即x的系数为.故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，考查二项式定理，属于中档题.5.已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数是定义在R上的偶函数，将不等式化为，根据函数在区间上单调递增，可得，解此不等式可得结果.【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又，所以不等式等价于，又函数在区间上单调递增，所以，所以或，所以或.故选：D.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了对数不等式的解法，属于基础题.6.
4、宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬扶捡顶中的两个动作，两人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”为事件A.列举出全部基本事件，求出事件A包含的基本事件个数，根据
5、古典概型的概率计算公式，求出事件A的概率.【详解】记“甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”为事件A.全部基本事件为：(爬，扶)、(爬，捡)、(爬，顶)、(扶，爬)、(扶，捡)、(扶，顶)、(捡，爬)、(捡，扶)、(捡，顶)、(顶，爬)、(顶，扶)、(顶，捡)共12个.事件A包含(爬，扶)、(爬，捡)、(扶，捡)共3个基本事件故事件A的概率：故选：C.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.7.九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环有九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下(或安上)第n环，则第号环必须解下(或
6、安上)，往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为，已知，则解六连环最少需要移动圆环步数为（ ）A. 42B. 85C. 256D. 341【答案】A【解析】【分析】代入数列的递推式，计算可得所求值.【详解】由题意可得：，故选：A.【点睛】本题主要考查数列的递推式的运用，考查运算能力，属于基础题.8.已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与一条渐近线交于点P(P在第一象限).交双曲线的左支于Q，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得【详解
7、】，圆方程为，由， 由，解得，即，设Q(x0，y0)，由，得，因为在双曲线上，解得（舍去），故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得9.如图，在直三棱柱中，.，EF分別为，中点，过点AEF作三棱柱的截面交于M，则（ ）A. 9B. 5C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先延长，交于点，连接交于，连接，取的中点，连接，得到四边形所求截面，再利用平行的相似比得到为上靠近的三等分点，计算即可.【详解】如图，延长，交于点，连接交于，连接，取的中点，连接，则四边形所求
8、截面.因为，且为的中点，所以为的中点.又因为，分别为，的中点，所以.则，即.所以为上靠近的三等分点.故.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱柱的结构特征，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.10.已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出图像如下图所示，取的中点为D，由，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式，可得选项.【详解】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则.又为圆O上的点P到D的距离，则，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的最值，
9、转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.11.已知函数()，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（ ）； 在有且仅有一个极大值点；在上存在零点，则a的最小值为；在上单调递增；A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据为奇函数，求出，可知错误；当时，当时，可知错误；根据函数的零点为，,可知正确；当时，为单调递减函数，可知正确.【详解】因为，所以，所以因为为奇函数，则，即，所以，因为，所以，对于，故错误；对于，因为，当时，当时，在上存在一个极小值点，没有极大值点，故错误；对于，令，得，若在上存在零点，则且a的最小值为，故正确；对于，当时，则在上单调递增，故正确；故选：C.【点
10、睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，考查了正弦函数的单调性，属于中档题.12.如图，正三角形的边长为，以等边三角形为底面，分别是以，为底边的全等的等腰三角形.沿黑实线剪开后，分别以，为折痕折起，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据题意得到与有相同的外接圆圆心，设圆心为，三棱锥的高为，连接交于，从而得到，再利用导数即可得到体积的最大值.【详解】由题知：与有相同的外接圆圆心，设圆心为，三棱锥的高为，连接交于，如图所示：因为，所以.故.令，.当，为增函
11、数，当，为减函数.所以当时，取得最大值.故当时，的最大值为.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，同时考查了三棱锥的体积问题，属于中档题.二填空题13.已知奇函数的定义域为R，且当时，则曲线在点处的切线斜率为_.【答案】.【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当时，根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为函数为奇函数，所以，因为当时，所以当时，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.故答案为：.【点睛】本题考查了由奇函数求解析式，考查了导数的几何意义，属于基础题.14.2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活
12、动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15份进行展示，现采用系统抽祥的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中被抽到的号码为17，则所抽到的最大的号码为_.【答案】【解析】【分析】根据系统抽样，可知将300份作品分成15组，每组20份，由第一组中被抽到的号码为17，可知最后一组被抽到的是该组第17份，从而可求出对应号码.【详解】根据系统抽样可知样本间隔为，从而将300份作品分成15组，每组20份.由题意可得最后一组号码为.故答案为：.【点睛】本题考查系统抽样知识，考查学生的推理能力，属于基础题.15.已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过P分别作与：和：平行的直线，交直线，于
13、M,N，则最大值为_.【答案】2.【解析】【分析】根据题意画出示意图，可得四边形为平行四边形，设，根据与的中点相同，换算出关系式，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.【详解】由题意，画示意图如下：设，.则，由题意可知四边形为平行四边形，所以，即又因P为椭圆上任意一点，所以因为，所以由函数性质知：当时，有.故答案为： 【点睛】本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.16.设正数数列的前n项和为，数列的前n项之积为，且，则数列的通项公式是_.【答案】【解析】【分析】令可得，利用的定义，可得的递推关系，从而得是等差数列，求出后可得，从而
14、可得【详解】，即，即是以2为首项，1为公差的等差数列，故，也符合此式，当时，又，故答案为：.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化如对积有，对和有，另外这种关系中常常不包括的情形，需讨论以确定是否一致三解答题17.已知a，b，c分别是三角形三个内角A，B，C所对的边，.（1）若，求角A；（2）在（1）的条件下，若，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将函数解析式进行化简整理，根据题意得到等式，得到，从而求得；（2）由得，即，结合的条件，可以断定，从而得到三角形是等边三角形，利用面积公式求得结果.【详解】（1），（2）由
15、，则，所以又因为，所以 所以三角形是等边三角形，由，所以面职为.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，已知三角函数值求角，同角三角函数关系式，正弦定理，三角形的面积公式，属于简单题目.18.如图，在三棱锥中，平面，为棱上的一点，且平面.（1）证明：；（2）设.与平面所成的角为.求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到平面，进而可得；（2）先由题意，得到，求得，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出两平面和的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1
16、）证明：因为平面，平面，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面因为平面，所以.（2）解：因为平面，即为与平面所成的角，所以，所以，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系则设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为则，即，令可得所以由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的大小为.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19.近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某扶贫小组为更好的执
17、行精准扶贫政策，为某扶贫县制定了具体的扶贫政策，并对此贫困县2015年到2019年居民家庭人均纯收入(单位：百元)进行统计，数据如下表：年份20152016201720182019年份代号(t)12345人均纯收入(y)并调查了此县的300名村民对扶贫政策的满意度，得到的部分数据如下表所示：满意不满意45岁以上村民1505045岁以下村民50（1）求人均纯收入y与年份代号t的线性回归方程；（2）是否有的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性？（3）若以该村的村民的年龄与对扶贫政策的满意度的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不满意扶贫政策的45岁以上的村民人数为x，求
18、x的分布列及数学期望.参考公式：回归直线中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，；，其中.临界值表：【答案】（1）；（2）有的把握认为村民的年龄与扶贫政策的满意度具有相关性；（3）分布列答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）先求出样本中心点，之后利用公式，结合数据，求得结果；（2）利用题中数据，将列联表补齐，利用公式计算得出，从而得出结论；（3）依题意，可知x的可能取值为0，1，2，3，分别求得其对应的概率，列表得出分布列，利用公式求得期望.【详解】（1）依题意：，故，（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计45岁以上村民1505020045岁以下村民5050100总计
19、200100300计算得的观测值为故有的把握认为村民的年龄与扶贫政策的满意度具有相关性.（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不满意扶贫政策的45岁以上村民的概率为，故，故x的分布列为X0123P则数学期望为(或由)，得.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有回归直线方程的求解，独立性检验，离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题目.20.已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，过两点，点M为抛物线上不同于AB的点，并且介于AB两点之间，点N为直线上一点，满足.（1）求直线斜率k的取值范围；（2）当取最大值时，求直线的方程.【答案】（1）
20、；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知设所求的抛物线方程，点坐标代入求的抛物线方程为，设点，则，根据题意，得到，利用两点斜率坐标公式求得，进而求得其范围；（2）分和两种情况，结合图形可知，且，构造函数，利用导数求得其最值，进而求得直线方程.【详解】（1）分别在第二和第一象限，设所求的抛物线方程，点坐标代入解得，所求的抛物线方程为，设点，则，根据题意，得到，可求得抛物线方程为，设点，则，所以.所以直线的斜率k的范围为. （2）方法一：当时，直线的方程为：，此时. 当时，设点，直线的方程为，直线的方程为；可解得，由（1）可知.结合图形，；且，所以，且.令，由，可知在区间单调增，在区间单调递减，因
21、此当时，取得极大值为，即， 综上可得：当时，取最大值，此时直线的方程为. 方法二：，求导可解得.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，利用导数研究其最值，属于较难题目.21.已知函数，在点处的切线为.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，证明.【答案】（1）的单调减区间是和，单调增区间是；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，解得，根据导数的符号，结合定义域可得函数的单调区间；（2）根据题意将问题转化为有两个实根、，不妨设，则，结合函数的图象可知，要证，即证，即证，即证，根据函数的单调性以及，转化为证明，然后构
22、造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）因为，所以，由题意可知，即，可解得，. 所以，则，由，得，由得，由得；又的定义域为，所以的单调减区间是和，单调增区间是. （2）由，是函数的两个极值点，得有两个变号零点， 令即，当时，上述等式不成立；当时，上式转化为，由（1）知的单调减区间是和，单调增区间是，且时，则函数的图象大致如图所示；不妨设，则， 要证，即证，即证，即证，由（1）知在上单调递增，要证只需证，又，故即证 令， 又在上为增函数，在上单调递减，即.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数研究函数的极值点，考查了利用导数证明不等式，考查了转化化归思想
23、，函数与方程思想，属于难题.22.在平面直角坐标中中，已知曲线的标准方程为，将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的4倍，得到曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l上的两个动点M，N满足，点P在曲线上，以M，N，P为顶点构造平行四边形，求平行四边形面积的最大值.【答案】（1）：，：；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面直角坐标系中的伸缩变换代入即可求出的方程，再把极坐标化为直角坐标即可求出直线l的直角坐标方程；（2）设曲线上的点坐标为，利用点到直线的距离公式和化一公式求出
24、的最大值，再利用求面积的公式代入即可.【详解】（1）曲线的标准方程为，将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的4倍，得到曲线的标准方程为.直线l的极坐标方程为.展开整理为，将，代入整理为.（2）设，则点P到直线的距离，所以，当且仅当，即取到. 所以平行四边形面积的最大值.【点睛】本题主要考查直角坐标系中伸缩变换以及极坐标与直角坐标的互化，利用曲线的参数方程求最值问题.属于中档题.23.已知不等式的解集为M.（1）求集合M；（2）设集合M中元素的最大值为t.若，满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出，解出的范围即可；（2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果.【详解】（1），又因为，所以，当时，舍去，当时，成立，当时，舍去，则 （2）设集合M中元素的最大值为，即又因为所以即的最小值，当且仅当，时取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.