1、第三章单元质量评估(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则有(A)AMN BMN CM0，所以MN.2下列命题中正确的是(C)Aabac2bc2 Baba2b2 Caba3b3 Da2b2ab解析：选项A中，当c0时，ac2bc2，所以A不正确；选项B中，当a0，b1时ab，但a2b2，但a1时，由1log2x2，知x，即x1，满足f(x)2的x的取值范围是0，)4函数y3x2的最小值是(D)A33 B3 C6 D63解析：y333(21)63.(当且仅当x21时等号成立)5当点(x，y)在直线x3y20上移动时，3x27y1的最小值是(D)A3 B1
2、2 C6 D7解析：由题意知x3y2,3x27y12121212317.6若函数f(x)log2(x22axa)的定义域为R，则a的取值范围为(A)A(1,0) B(0,1) C(0,2) D(2,0)解析：已知函数的定义域为R，即x22axa0对任意xR恒成立，(2a)24a0.解得1a0.7已知0cb1，下列不等式正确的是(D)Acacb B. Cbacabc Dlogaclogbc解析：由函数f(x)cx(0c1)单调递减可得，cacb，选项A错误；0cb1，0，0，abc0，且c1，ab1，1，0c1，c11，bac1，y1，且lgx,2，lgy成等差数列，则xy有(B)A最小值20
3、B最小值200 C最大值20 D最大值200解析：由题意得4lgxlgy，所以xy104，所以xy2200，当且仅当xy100时取等号，即xy有最小值200，故选B.9已知点M的坐标(x，y)满足不等式组N为直线y2x2上任意一点，则|MN|的最小值是(B)A. B.C1 D.解析：作出可行域及直线y2x2，如图所示，直线y2x2与直线2xy40平行，取直线2xy40上的点A(2,0)，由点到直线的距离公式得，|MN|的最小值为，故选B.10记不等式组所表示的平面区域为D，若对任意(x0，y0)D，不等式x02y0c0恒成立，则c的取值范围是(D)A(，4 B(，2C1,4 D(，1解析：由已
4、知得到可行域如图：由题意可知cx2y恒成立，即c(x2y)min，设zx2y，当目标函数zx2y经过A(1,0)时，z取得最小值，最小值为1，所以c1，故选D.11已知正实数a，b满足4ab30，使得取得最小值的实数对(a，b)是(A)A(5,10) B(6,6) C(10,5) D(7,2)解析：a，b0，(4ab)(52)，当且仅当时取“”这时a5，b10.12已知D，给出下列四个命题：p1：(x，y)D，xy0；p2：(x，y)D,2xy10；p3：(x，y)D，4；p4：(x，y)D，x2y22.其中真命题是(D)Ap1，p2 Bp2，p3 Cp3，p4 Dp2，p4解析：作出可行域，
5、如图阴影部分所示(三角形ABC及其内部)，其中A(2,0)，B(0,2)，C(1,3)当直线zxy过点A时取最小值24，同理，的最小值为34；可行域内的点(x，y)到原点的距离的平方的最小值为22，故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13函数y2x(x0)的值域为(，2解析：当x0时，y2222.当且仅当x，即x2时取等号14某几何体的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最小值为.解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，底面三角形的直角边长为1，y，有一条侧棱垂直于底面，设该侧棱长为m，则有整理得x2y252xy，xy，.，当且仅当xy时等号成立15.已知函数f(x)若f(a)f
6、(2a)，则实数a的取值范围是a1.解析：画出函数yf(x)表示的图象如图，结合图象可知，函数yf(x)在定义域(，)内是增函数，则a2a，即a1.16若点M(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式2xym0恒成立，则m的取值范围是m12.解析：由题意得m2xy恒成立，则m(y2x)min.设zy2x，则直线y2xz在点(，1)处的纵截距最小，为12，所以m12.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(本小题10分)已知关于x的不等式kx22x6k0(k0)(1)若不等式的解集是x|x2，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围解：(1)因为
7、不等式的解集为x|x2，所以3，2是方程kx22x6k0的两根且k0.由根与系数的关系得解得k.(2)因为不等式的解集为R，所以即所以k.即k的取值范围是.18(本小题12分)已知x，y(0，)，x2y2xy.(1)求的最小值；(2)是否存在x，y满足(x1)(y1)5？并说明理由解：(1)由题意可知2，当且仅当xy1时，等号成立所以的最小值为2.(2)不存在理由：因为x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)，又x，y(0，)，所以0xy2，从而有(x1)(y1)24，因此不存在x，y满足(x1)(y1)5.19(本小题12分)某咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯分别用奶粉9 g、
8、咖啡4 g、糖3 g，乙种饮料每杯分别用奶粉4 g、咖啡5 g、糖10 g已知每天使用原料限额为奶粉3 600 g、咖啡2 000 g、糖3 000 g如果甲种饮料每杯能使该咖啡馆获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，那么每天应配制两种饮料各多少杯，能使该咖啡馆获利最大？解：设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，咖啡馆每天获利z元，则目标函数z0.7x1.2y.在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示，作直线l：0.7x1.2y0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的A点，此时z0.7x1.2y取得最大值联立得解得A(200,240)故每
9、天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大20(本小题12分)设函数f(x)x3，x0,1证明：(1)f(x)1xx2；(2)，所以f(x).综上所述，f(x).21(本小题12分)已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16，(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围解：(1)g(x)2x24x160，(2x4)(x4)0，2x4，不等式g(x)0的解集为x|2x2时，f(x)(m2)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1)对一切x2，均有不等式m成立而(x1)22 22(当且仅当x3时等号成立)，实数m的取值范围是(，222(本小题12分)已知函数f(x)(a，b，cR，a0，b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN*，且f(1)0，b0，f(x)x2，当且仅当x时，等号成立22，ab2.由f(1)，得，即，2b25b20.解得b2.又bN*，b1，a1，f(x)x.(2)设存在一点(x0，y0)在yf(x)的图象上，则它关于(1,0)的对称点(2x0，y0)也在yf(x)的图象上，则y0，且y0，消去y0，得x2x010，解得x01.yf(x)的图象上存在两点(1，2)，(1，2)关于(1,0)对称