1、四川省叙州区第一中学高2019届四月月考数学（理工）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（ ）A B C D2.已知复数满足：则复数的虚部为（ ）A B C D3.已知实数满足：，则（ ）A. B. C. D. 4.在区域内任意取一点，则的概率是（ ）A. B. C. D. 5.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的解析式为（ ）A. B. C. D. 6.已知，点为斜边的中点， , , ,则等于 A. B. C. D.7.
2、 已知，则 展开式中的系数为 A.24 B.32 C.44 D.568.中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A.24里B.18里C.12里D.6里9.正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为( )A.B.C.D.10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 211.已知双曲线： 的左右焦点分别为， 为双曲线上一点
3、， 为双曲线C渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且， ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 12.已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）A B C. D第卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，且，则 14执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值之和为 15若是双曲线同一支上的任意两点，为坐标原点，则的最小值为 16.在中，内角，的对边分别为，,则 三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本大题满分12分)在中，角，的对边分别为，已知.（I）求；（II）若，求的面积
4、.18.（本小题满分12分）由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了两个地区的名观众，得到如下的列联表：已知在被调查的名观众中随机抽取名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.(I)现从名观众中用分层抽样的方法抽取名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少.(II)完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认
5、为观众的满意程度与所在地区有关系.非常满意满意合计合计(III)若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，顶点在底面上的射影恰为点(I)求证：平面平面；(II)若直线与底面成角，求二面角的余弦值A1DABCB1C1D120. （本大题满分12分）已知椭圆，动圆：（圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长最小值时,.（）求椭圆的方程；（）判断的面积是否为定值，若是，则求出该值；不是，请说明理由。21. （本大题满分12
6、分）已知函数（为自然对数的底数）.（）若，求函数的单调区间；（）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本大题满分10分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为，曲线(为参数).其中.（）试写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（）若点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）当时，解不等式；（）若对于任意非零实数以及任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围四川省叙州区第一中学高2
7、019届四月月考数学（理工）试题答案一、选择题1-5:DCBBC 6-10 CBBCA 11-12 BD二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13. 14127 151 16. 三、解答题17解：（）由得，所以； （），设，由余弦定理得：，所以，所以的面积 18. 解：(1)由题意，得，所以，所以，因为，所以，A地抽取，B地抽取，非常满意满意合计合计(2) 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系(3) 从地区随机抽取人，抽到的观众“非常满意”的概率为随机抽取人，的可能取值为，,A1DABCB1C1D1zyx19解：（1）由已知可得 ，又 且 （2）， 如图所示建立空间直角坐标
8、系则， 取平面的法向量 设平面的法向量 则由得 二面角的余弦值为 ,又 在椭圆上， 得椭圆C的方程为：（）解：（1）当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则的面积为 （2）当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：由得：整理得：由韦达定理得： 设，由于点P不与点A、B重合时，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为：将与椭圆方程联立可得： 代入有：整理得： 又而原点O到直线的距离为 所以的面积为定值. 21. 解: （I）当错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。令错误！未找
9、到引用源。，得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的单调递减区间为错误！未找到引用源。；错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的单调递增区间为错误！未找到引用源。，递减区间为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。；
10、错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的单调递增区间为错误！未找到引用源。，递减区间为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。（II）由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内有零点.设错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内的一个零点，则由错误！未找到引用源。知错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。上不可能单调.设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。和错误
11、！未找到引用源。上均存在零点，即错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上至少有两个零点错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上递增，错误！未找到引用源。不可能有两个及以上零点；当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上递减，错误！未找到引用源。不可能有两个及以上零点；当错误！未找到引用源。时，令错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上递减，在错误！未找到引用源。上递增，错误！未找到引
12、用源。在区间错误！未找到引用源。上存在最小值错误！未找到引用源。.若错误！未找到引用源。有两个零点，则有：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，令错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。递增，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。递减，错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。恒成立.由错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，设错误！未找到引用源。的两个零点为错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。递增，在错误！未找到引用源。 递减，在错误！未找到引用源。递增，所以错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。内有零点. 综上，实数错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。.22、解析：（1），即，又.直线的直角坐标方程为.曲线（为参数），消去参数可得曲线的普通方程为.（2） 由（1）可知，曲线是以为圆心，为半径的圆. 圆心到直线的距离，点到直线距离的最大值为.23.（1）当时，所以的解集为.5分（2）由，知，即，而， 所以，即，故实数的取值范围为.