1、决胜新高考2023 届高三年级大联考数学参考答案与评分细则本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的
2、整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知3iiz，其中 i 为虚数单位，则 z A 12B2C2D22答案：B【解析】3i2iz2已知向量 a，b满足abab，则 a与b的夹角为A 6B 3C 56D 23答案：D【解析】因为22222abaabba，所以212 aba，所以 a与 b的夹角为 23 3给定空间中的直线l 和平面，“直线l 与平面 垂直”是“直线l 与平面 a内无数条直线都垂直”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案：A【解析】
3、由“直线l 与平面 垂直”可知“直线l 与平面 a内任意直线都垂直”由“直线l 与平面 a内无数条直线都垂直”得不到“直线l 与平面 垂直”4立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有 6 位老师、4 位学生进行发言现用抽签的方式决定发言顺序，事件(110)kAkk N，表示“第 k 位发言的是学生”，则A23()5P AB123()25P A AC1021(|)3P AAD125(4)P AA答案：C【解析】因为1949210102()5C AP AA，所以 A 错误因为28481210102()15A AP A AA，所以 B 错误因为1021022()1(|)()3P A AP
4、AAP A，所以 C 正确因为2868121210102()1()13A AP AAP A AA ，所以 D 错误5已知1sin()cos62，则5sin(2)6 A 13B 34C 12D34答案：C【解析】解法一：因为1sin()cos62，所以1sin()cossincoscossincossin()66662令6t，则6t ，1sin2t，所以2551sin(2)sin(2()sin(2)cos212sin66622tttt 解法二：因为1sin()cos62，不妨取0，则551sin(2)sin662 6疫情防控期间，某单位把 120 个口罩全部分给 5 个人，使每人所得口罩个数成等
5、差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的 3 倍，则最小一份的口罩个数为【答案】C【解析】设等差数列 na的首项为1a，公差为0d，由条件可知，A 6B10C12D14515 451202Sad，345123aaaaa，即 11333 2adad，即1122420adad，解得112a，6d，所以最小一份的口罩个数为12个，故选 C7设3log 2a，6log 4b，3elog(2e)c，则A cbaB abcCbacD acb答案：B【解析】lg 2lg3a，lg 4lg 2lg 2lg6lg3lg 2b，lg(2e)lg21lg(3e)lg31c，解法一：因为(00)nnk kmnmmk
6、，所以 abc解法二：设lg 2lg 2lg3()+1lg3lg3xf xxx，则(0)af，(lg2)bf，(1)cf，又因为()f x 在(0+)，上单调递增，所以 abc8在平面直角坐标系 xOy 中，已知点11()A xy，22()B xy，在椭圆22:12xCy 上，且直线 OA，OB 的斜率之积为12，则22221122xyxyA1B 3C 2D 52答案：A【解析】设11()A xy，22()B xy，则221112xy，222212xy，所以2222222222121211221233(1)(1)22222xxxxxyxyxx因为121212OAOByykkxx，所以12122
7、x xy y，所以222212124x xy y，所以22222222212121122122114244()(22)2x xy yxxxxx x，所以22122xx，所以222211221xyxy 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知32()29f xxxaxb在1x 处取得极大值，若()f x 有三个零点，则A2a B 54b C()f x 的极小值为 4bD2()()f bfb答案：BCD【解析】因为2()618fxxxa，所以(1)6180fa，所以1
8、2a 因为2()618126(1)(2)fxxxxx，所以()f x 在2x 处取得极小值，在1x 处取得极大值，极小值为(2)4fb，极大值为(1)5fb，所以 40b，40b，所以 54b 因为 54b ，所以 45b ，21625b，又因为()f x 在(2)，上单调递增，所以2()()f bfb10已知函数()2sin()1()3f xxN在区间0，上有且仅有 2 个零点，则A2 B()f x 的图象关于(0)6，对称C()f x 的图象关于直线12x对称D()f x 在区间5612，上单调递减答案：ACD【解析】令()0f x，则1sin()32x，所以236xk 或2()36xkk
9、 Z，即26kx 或22()kxk Z 因为函数()f x 在区间0，上有且仅有 2 个零点，所以2，所以 A 正确因为()2sin(2)13f xx，所以()f x 的图象关于(1)6，对称，关于直线12x对称，在区间5612，上单调递减，所以 B 错误，C正确，D 正确11正多面体统称为柏拉图体若连接某正方体1111ABCDA B C D的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为 43 的柏拉图体 则A 是正六面体B正方体1111ABCDA B C D的边长为 2C 与正方体1111ABCDA B C D的表面积之比是36D平面11ACC A 与 相交所得截面的面积是2答案：BCD【解析】是正
10、八面体，所以 A 错误设正方体1111ABCDA B C D的边长为 a，则 的体积为31114232263aaaa，所以2a，所以 B 正确正方体1111ABCDA B C D的表面积是 62224，的表面积是318224 322，所以 C 正确平面11ACC A 与 相交所得截面是菱形，其面积为 12222，所以 D 正确12已知曲线22:1C xyxy，则A曲线 C 关于坐标原点对称B曲线 C 关于 y 轴对称C2 55x或2 55xD22425xxyy答案：ACD【解析】因为点()P xy，在曲线22:1C xyxy 上，所以点1()Pxy，满足2222()()()()1xyxyxyx
11、y ，所以 A 正确若(21)P，因为点(21)P，不满足 C 的方程，所以 B 错误因为221xyxy，所以2210yxyx，所以224(1)0 xx，所以2 55x或2 55x，所以 C 正确设 txy，则 xyt，所以22()()1ytyyt y，所以2210ytyt，所以224(1)0tt，所以245t，所以22425xxyy，所以 D 正确三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13101(1)()xxx展开式中4x 的系数是答案：120【解析】101()xx展开式中1010 2110101()(1)rrrrrrrTC xCxx 因为101()xx展开式中不含奇次
12、项，3344310(1)120TCxx，所以4x 的系数是 12014写出一个同时满足下列性质的函数()f x()()()f xyf xf y；()f x 在定义域上单调递增答案：()log(1)af xx a【解析】log()loglogaaaMNMN，且()log(1)af xx a单调递增15已知抛物线21:4Cyx的焦点 F 与双曲线22222:1(00)yxCabab，的右焦点重合，1C与2C的公共点为 M，N，且4MN，则2C 的离心率是答案：21【解析】因为1C 与2C 交于点 M，N，所以 M，N 关于 x轴对称，所以2My，所以1Mx 因为(1)F，0，所以 FM x轴记椭圆
13、2C 的另一焦点为 F，所以222 2MFFFMF，所以 22 22a，所以222122 22cea16 已知半径为 2 2 的球 O 的表面上有 A，B，C，D 四点，且满足 AD 平面 ABC，3ABBC，ABBC，则四面体 DABC的体积最大值为；若 M 为AD 的中点，当 D 到平面 MBC 的距离最大时，MBO的面积为答案：4；7【解析】在平面 ABD 内过点 D 向 AM 作垂线，垂足为 H，则 D 到平面 MBC 的距离为 DH 设ADh，33ABBCa，球心 O 即为 CD 的中点，所以22432ah四面体 DABC的体积233113(32)3224Va hhh，所以23(32
14、3)24Vh，令0V，得323h（负值舍去），当3203h，时，V 单调递增；当32+3h，时，V 单调递减，所以当32=3h时，max3239V又因为ABMHDM，所以22221414haDHahha因为2222222222414141161()(8)(88)323232ahahhahaha，当且仅当224ah时等号成立，所以4h，2a 此时2 2MBOB，2OM，所以MBO的面积为7 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 已知 B 为锐角，且 2 sin3bAa（1）求 B；
15、（2）求 sinsinAC的最大值解：（1）因为 2 sin3bAa，所以32sinbaA在ABC中，由正弦定理 sinsinabAB，得 sinsinBbAa，所以3sinsin2sinBAA因为 0A，所以 sin0A，所以3sin2B 2 分又因为 B 为锐角，所以3B 4 分（2）因为 0A，3B，所以 sinsinsinsin()sinsin()ACAABAAB33sinsin()sinsincoscossinsincos33322AAAAAAA6 分3sin()36A，当且仅当3AC时等号成立，8 分所以 sinsinAC的最大值是3 10 分18（12 分）甲、乙两台机床加工同一
16、规格（直径 20.0 mm）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过 0.2 mm 的零件为一级品，误差大于 0.2 mm 的零件为二级品（1）根据以上数据完成下面的 22列
17、联表，并判断是否有 95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；一级品二级品总计甲机床乙机床总计（2）以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任取 2 个，从乙机床生产的零件中任取 3 个比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小附22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中 nabcd20()P Kk0.1000.0500.0100.0050.0010k2.7063.8416.6357.87910.828解：（1）22列联表如下：一级品二级品总计甲机床16218乙机床7512总计237302 分根据列联表得2230(
18、16 52 7)6053.75823 7 18 12161K ，因为 3.7583.841，5 分所以没有 95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异答：没有 95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异 6 分（2）从甲机床生产的零件中任取 2 个，设这 2 个零件中一级品的个数为 X，从乙机床生产的零件中任取 3 个，设这 3 个零件中一级品的个数为Y，则随机变量 X，Y 服从二项分布，即8(2)9XB，7(3)12YB，8 分所以81664()29936E X，7763()312436E Y ，10 分所以甲的期望的大答：甲的期望的大12 分19（12 分）
19、如图所示，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是菱形，O 是 AD 的中点，点 E 在 PC上，且 AP 平面 BOE（1）求 PEPC 的值；（2）若 OP平面 ABCD，OE PC，2AB，ECBDOAP60BAD，求直线 OE 与平面 PBC 所成角的正弦值解：（1）连接 AC 与 BO 交于点 F，因为底面 ABCD 是菱形，O是 AD 的中点，所以 AO BC，且12AOBC，所以12AFFC2 分因为 AP 平面 BOE，AP 平面 APC，平面 APC 平面 BOEEF，所以 AP EF，所以12AFPEFCEC，所以13PEPC 4 分（2）解法一：因为底面 ABCD 是菱
20、形，O 是 AD 的中点，60BAD，所以 BOAD因为 OP平面 ABCD，AD 平面 ABCD，BO 平面 ABCD，所以 OP AD，OP BO，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz6 分则 O(0，0，0)，A(1，0，0)，(030)B，(230)C，设(00)Ph，则(23)PCh，所以3122()3333hOEOPPEOPPC，因为 OE PC，所以2421033hOE PC ，解得142h 8 分所以3142()333OE ，(20 0)BC ，14(03)2PB，设()xyz，n=为平面 PBC 的法向量，则0BCn，0PBn，得0 x，14302yz，取12 3z，所以(
21、014 2 3)，n为平面 PBC 的一个法向量10 分因为222314142 33 1333cos1331421412()()()333OE，n，所以直线 OE 与平面 PAB 所成角的正弦值是 3 131312 分ECBDOAPFECBDOAPFzyx解法二：因为底面 ABCD 是菱形，O 是 AD 的中点，2AB，60BAD，所以120CDO，2CD，1OD 在CDO中，由余弦定理2222cos120OCCDODCDOD，得7OC 6 分因为 OP平面 ABCD，OC 平面 ABCD，所以 OPOC设 PEa，2CEa，在直角CDO中，由射影定理2OEPECE，得2OEa在直角CEO中，
22、由勾股定理222OCOECE，得276a，所以22723OEa，所以213OE，22142OPCPOC在直角OBP中，作斜边 BP 上的高 OH，因为 1122OHBPOBOP，所以2113OH 8 分因为 OP平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 OP BC 又因为 OB BC，OB 平面 OBP，OP 平面 OBP，OBOPP，所以 BC平面OBP，因为OH 平面OBP，所以 BCOH 又因为 OH BP，BC 平面 PBC，BP 平面 PBC，BCBPB，所以 OH平面 PBC 10 分因为21133 1313213OHOE，所以直线 OE 与平面 PAB 所成角的正弦值是 3 1
23、31312 分20（12 分）已知nT 为正项数列na的前 n项的乘积，且13a，21nnnTa（1）求na的通项公式；（2）若1(3)4(1)(1)nnnnnabaa，求证：+1124()3nnbbb【解】（1）当2n时，2211nnnTa，21nnnTa，所以22211121nnnnnnnTaaTa，所以11nnnnaa，2 分所以11lg()lg()nnnnaa，即1lg(1)lgnnnana，所以1lglg(2)1nnaannn，当2n 时，2322Ta，解得29a，所以21lglglg321aa，所以数列 lgnan是常数列，4 分所以1lglglg31naan，所以 lglg3lg
24、3nnan，所以3nna 6 分（2）因为1111(3)(33)4444(1)(1)(31)(31)3131nnnnnnnnnnnnnabaa，8 分所以2321122321444444313131313131nnnnnbbb10 分1111111114444441()3133131313nnnnnnnnn 12 分21（12 分）已知函数()ln()af xxaxR（1）若()f x 的最小值为1，求实数 a的值；（2）若关于 x 的方程()f xax有 3 个不同的实数根，求 a的取值范围解：（1）因为221()axafxxxx，所以若0a，()0fx，()f x 单调递增，无最小值，不成
25、立2 分若0a，当(0)xa，时，()0fx，()f x 单调递减，当()xa，时，()0fx，()f x 单调递增，所以min()()ln11f xf aa，1a 4 分（2）设()lnag xxaxx，则2221()aaxxag xaxxx当0a 时，()0g x，()g x 单调递增，所以()g x 至多一个零点5 分当12a时，因为2140a，所以20axxa，所以()0g x，()g x 单调递减，所以()g x 至多一个零点6 分当102a时，令()0g x=，得211142axa，221142axa，当12xxx时，()0g x，()g x 单调递增，因为121xx，且(1)0g
26、，又因为()g x 是不间断的函数，所以1()0g x，2()0g x且()g x 在12()xx，上只有一个零点8 分当2xx时，()0g x，()g x 单调递减因为33221111()ln2lngaaaaaaa，设311()2ln(0)2h aaaaa，则422221321()30aah aaaaa，所以()h a 单调递增，所以11()()ln 42028h ah，得21()0g a因为222114112axaaa，又因为()g x 是不间断的函数，所以()g x 在221()x a，上只有一个零点，可得()g x 在2()x ，上只有一个零点0 x 10 分因为00000000111
27、()()lnln0ag xgxaxaaxxxxx，所以01()0g x,且102110 xxx，又因为()g x 是不间断的函数，所以()g x 在1(0,)x上只有一个零点01x 综上可知，当102a时，()g x 在(0,)上有且仅有三个零点，即关于 x 的方程()f xax有 3 个不同的实数根12 分22（12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，且12OA OB （1）求抛物线C 的方程；（2）直线 AO，BO 分别交直线:(0)l xt t于 A，B 两点，圆1O 是以线段 A B 为直径的
28、圆从下面中选取一个作为条件，证明另外一个成立直线l 是抛物线 C 的准线；直线 AB 与圆1O 相切解：（1）设直线 AB 的方程为2pxmy，由222ypxpxmy，得2220ypmyp设211()2yAyp，222()2yByp，所以212y yp 2 分因为2222212123122244yyppOA OBy yppp ，所以4p，所以抛物线的方程为28yx4 分（2）因为211()8yAy，所以直线 AO 的方程为18yxy，则18()tA ty，因为1216y y ，所以2()2tyA t，同理可得：1()2tyBt，所以圆1O 的方程为：2221212()()()44ttxtyyy
29、yy6 分由（1）知：128yym，1216y y 由证明因为直线l 是抛物线C 的准线，所以2t 所以圆1O 的方程为：222121211(2)()()22xyyyyy8 分所以圆心1O 到直线 AB 的距离为21222222()+44424 111m yymmmm10 分221221211222=4 1()=16=842yyyyyy yy，所以直线 AB 与圆1O 相切12 分由证明直线 AB 的方程为2pxmy，即128()160 xyyy因为直线 AB 与圆1O 相切，所以212122212816()()448()ttyyt yyyy，8 分所以212221122()816(2)44t yyttyy yy，所以2122212()16()44t yyt yy，10 分所以2222221212121216()2()8444tttyyyyy yyyt ，解得2t ，所以直线 l 是抛物线 C 的准线12
