1、长郡中学2022年下学期高二期中考试数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在数列中,且,则（ ）ABCD2在棱长为1的正方体中,（ ）A1BCD23在平面直角坐标系中,以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）ABCD4在等比数列中,若成等差数列,则的公比为（ ）A5B4C3D25若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD6已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线
2、与圆锥底面所成角的正弦值为（ ）ABCD7阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为(2,-1)，则椭圆的面积为（ ）ABCD8如图，在棱长为 2 的正四面体中，点分别为和的重心,为线段上一点，则（ ）A的最小值为2B若平面，则C若平面，则三棱锥外接球的表面积为D若为线段的中点，且，则二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9已知直线，则（ ）A直线过定点(-2
3、,-1)B当时,C当时,D当时,两直线之间的距离为110若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）ABC(为常数)D11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.九章算术商功:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（ ）ABCD12已知是抛物线的焦点,是抛物线上的两点,为坐标原点，则（ ）A若，则
4、的面积为B若，则C抛物线的准线方程为D若的中点在抛物线的准线上的投影为，则第卷三、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)13椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_.14已知，若三向量共面，则实数_.15在平面直角坐标系中,，若动点在直线上，圆过三点,则圆的面积最小值为_.16已知数列满足,则数列的通项公式为_,若数列 的前项和为，则满足不等式的的最小值为_.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图，在棱长是2的正方体中,分别为的中点.(1)求异面直线与所成角的大小;(2)证明:平面.1
5、8(本小题满分 12 分)已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.(1)求曲线的方程;(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.19(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为.(1)求边上的中线所在直线的方程;(2)求的外接圆被直线截得的弦长.20(本小题满分 12 分)已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足的前项和为，证明: .21(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥中，四边形是矩形,是正三角形，且平面平面为棱的中点,四棱锥的体积为.(1)若为棱的中点,求证:平面;(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成
6、锐二面角的余弦值为?若存在,指出点的位置并给以证明; 若不存在，请说明理由.22(本小题满分 12 分)已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，直线过与双曲线的右支交于两点，且当垂直于轴时,.(1) 求双曲线的方程;(2)过点且垂直于的直线与双曲线交于两点，求的取值范围.长郡中学2022年下学期高二期中考试数学参考答案题号123456789101112答案DBACBACDCDBCDADABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）8D 【解析】 如图，易得，又，则平面CDE，又平面CDE，则，同理可得，则平面ABD，又，平面ABD，所以
7、，则当点与点重合时，取得最小值，又，则最小值为，A错误在正四面体ABCD中，因为平面ABC，易得在DN上，所以，又点N，M也是和的内心，则点为正四面体ABCD内切球的球心，设正四面体ABCD内切球的半径为，因为，所以，解得，即，故，B错误设三棱锥外接球的球心为，半径为，易得球心在直线DN上，且，如图则，解得，故三棱锥外接球的表面积为，C错误若为线段EN的中点，则，设，则因为，所以设，则解得故，D正确二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）12ABD 【解析】 因为拋物线，故，焦点，准线为
8、，设，对于A，如图1，由抛物线的定义可知，即，故，代入，解得，所以，故A正确；对于B，由得，故，即，又，故，得或（舍去），则，故，故B正确；对于C，易知准线为，故C错误；对于D，如图2，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，连接MN，在中，所以，即，故D正确三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）132414115 【解析】 如图，要使圆的面积尽可能小，则，点位于第一象限，设，又，所以线段AB的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，所以，即，则，所以，所以，当且仅当即时取等号，所以，所以圆面积的最小值为，此时16；6（第一空2分，第二空3分）【解析】 在数列中，由得
9、，而，于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以数列的通项公式为；显然，则，由得，即，令，则，即数列是递增数列，由，得，而，因此，从而得，所以满足不等式的的最小值为6四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17【解析】 根据题意，建立如图所示空间直角坐标系则，（1），异面直线EF和所成的角为60（2），即，即又，平面，且，平面18【解析】 （1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；当过
10、的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，联立整理可得，则，即，解得，此时直线的方程为，综上所述，满足条件的直线的方程为或或19【解析】 （1），边的中点的坐标为，中线AD的斜率为，中线AD的直线方程为，即（2）设的外接圆的方程为，三点在圆上，解得外接圆的方程为，即，其中圆心为，半径，又圆心到直线的距离为，被截得的弦长的一半为，被截得的弦长为20【解析】 （1），当时，两式相减得，由得，即，满足上式，因此，于是得数列是首项为4，公比为4的等比数列，所以数列的通项公式是（2）由（1）知，而，则，即，则，两式相减得，所以21【解析】 （1）如图，
11、取SC中点，连接EF，FD，E，F分别为SB，SC的中点，底面四边形ABCD是矩形，为棱AD的中点，故四边形PEFD是平行四边形，又平面，平面SCD，平面SCD（2）假设在棱SA上存在点满足题意，在等边中，为AD的中点，又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，平面ABCD，则SP是四棱锥的高设，则，解得以点为原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设，设平面PMB的一个法向量为，则取易知平面SAD的一个法向量为，故存在点，位于AS靠近点的三等分点处满足题意22【解析】 （1）依题意，当垂直于轴时，即，即，解得，因此双曲线的方程为（2）设，联立双曲线方程，得，当时，；当时，设，因为直线PQ与双曲线右支相交，因此，即，同理可得，依题意，同理可得，而，代入，分离参数得，因为，当时，由，所以，综上可知，的取值范围为
