1、单元形成性评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知函数yf(x)x21，则当x2，x0.1时，y的值为()A0.40 B0.41 C0.43 D0.44【解析】选B.因为x2，x0.1，所以yf(xx)f(x)f(2.1)f(2)(2.121)(221)0.41.2(2021乐山高二检测)一物体沿直线以速度v(t)2t3(单位：m/s)作变速直线运动，则该物体从时刻t0秒至时刻t5秒间运动的路程为()A5 m B10 m C m D m【解析】选D.根据题意，作出速度关于时间的函数图象如下所示：容易知，从时刻t0秒至时刻t5秒间运动的路程是阴影部分的面
2、积，故 25152323.3若f(x)sin cos x，则f(x)等于()Acos sin x B2sin cos xCsin x Dcos x【解析】选C.函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数4函数f(x)的部分大致图象为()【解析】选A.因为f(x)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除B、D；当x0时，f(x)，所以f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)0，x1处切线与x轴平行，故排除C.5已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.f(x)x2a，
3、当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件6已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2 B3 C4 D5【解析】选D.f(x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f(x)0的实数根，所以a5.7曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5【解析】选B.因为点(1，1)在曲线上，y3x26x，所以y|x13，即切线斜率为3.所以利用点斜式得，切线方程为y13(x1)，即y3x2.8函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()【解析】选D.观察导函数f(
4、x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C.如题干图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20.9一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)所做的功为()A44 J B46 J C48 J D50 J【解析】选B.WF(x)dx10dx(3x4)dx10x46(J).10函数f(x)3x4x3(x0，1)的最大值是()A1 B C0 D1【解析】选A.f
5、(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，所以f(x)在0，1上的最大值为1.【拓展延伸】本题结合函数极值的求法，用待定系数法求出函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区间在求最值时切记不要简单地在极值中找出最值作为结果，一定要考虑函数在区间端点处取得的函数的大小本题主要体现了化归思想的应用11定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x).则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1【解析】选B.令g(x)2f(x)x1，因为f(x)，所以g(x)2f(x)10，所以g(x)为单调增函数，因
6、为f(1)1，所以g(1)2f(1)110，所以当x1时，g(x)0，即2f(x)0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一二、填空题(每小题5分，共20分)13从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为vgt(g为常数)，则电视塔高为_【解析】hgtdtgt2|g.答案：g14已知曲线f(x)exx2，则曲线在(0，f(0)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为_【解析】由题意，得f(x)ex2x，所以f(0)1.又f(0)1，所以曲线在(0，f(0)处的切线方程为y11(x0)，
7、即xy10，所以该切线与x，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为11.答案：15(2021南宁高二检测)已知函数f，则f_【解析】因为2tdtt2x2，可得函数f，所以ff1.答案：116已知函数f(x)的定义域为1，5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，给出关于f(x)的下列命题：x10245f(x)12021函数yf(x)在x2取到极小值；函数f(x)在0，1是减函数，在1，2是增函数；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最小值为0.其中所有正确命题是_(写出正确命题的序号
8、).【解析】由图象可知当1x0，2x4时，f(x)0，此时函数单调递增，当0x2，4x5时，f(x)0，此时函数单调递减，所以当x0或x4时，函数取得极大值，当x2时，函数取得极小值所以正确函数在0，2上单调递减，所以错误因为x0或x4时，函数取得极大值，当x2时，函数取得极小值所以f(0)2，f(4)2，f(2)0，因为f(1)f(5)1，所以由函数图象可知当1a2时，函数yf(x)a有4个零点，所以正确因为函数在1，0上单调递增，且函数的最大值为2，所以要使当x1，t时，f(x)的最大值是2，则t0即可，所以t的最小值为0，所以正确答案：三、解答题(共70分)17(10分)(2021百色高
9、二检测)设f是二次函数，其图象过点，且在点处的切线为2xy30.(1)求f的表达式；(2)求f的图象与两坐标轴所围成图形的面积【解析】(1)设fax2bxc，因为f过点，所以fc1，因为f在点处的切线为2xy30且f2axb，所以解得所以fx22x1；(2)f的图象与两坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示，所以所求面积Sdx0.18(12分)设函数f(x)ln xln (2x)ax(a0)，若f(x)在(0，1上的最大值为，求a的值【解析】函数f(x)的定义域为(0，2)，f (x)a，当x(0，1时，f (x)a0，即f(x)在(0，1上单调递增，故f(x)在(0，1上的最大值为f(1)a，
10、因此a.19(12分)已知函数f(x)x2axa ln x.(1)若曲线yf(x)在x2处的切线与直线x3y20垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在2，3上单调递增，求实数a的取值范围【解析】(1)f(x)2xa(x0)，f(2)3，所以a2.(2)依题意有2x2axa0在x2，3上恒成立，即a在2，3上恒成立，因为0(x2，3)，所以y在2，3上单调递减，所以当x2，3时，8，所以a的取值范围为8，).【补偿训练】设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0，6).(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【解析】(1
11、)因为f(x)a(x5)26ln x，所以f(x)2a(x5)，令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0，6)在切线上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23，当0x3时，f(x)0，故f(x)的单调递增区间为(0，2)，(3，)；当2x3时，f(x)c时，P，所以Tx2x10.当1xc时，P，所以T(1)x2()x1.综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：T(2)由(1)知，当xc时，每天的盈利额为0
12、，当1xc时，T，令T0，解得x3或x9.因为1xc，c6，所以()当3c6时，Tmax3，此时x3.()当1c3时，由T，知函数T在1，3)上递增，所以Tmax，此时xc.综上，若3c6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1c3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润22(12分)(2021全国乙卷)已知函数f(x)x3x2ax1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线yf(x)过坐标原点的切线与曲线yf(x)的公共点的坐标【解析】(1)函数f(x)x3x2ax1的定义域为R，其导数f(x)3x22xa.当a时，方程f(x)0至多有一解，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a0时，x
13、x2；f(x)0时，x1xx2.f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增所以，当a时，f(x)在R上单调递增；当a时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增(2)记曲线yf(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，xxax01)，f(x0)3x2x0a，所以切线l的方程为y(xxax01)(3x2x0a)(xx0)，又l过坐标原点，则2xx10，解得x01，所以切线l的方程为y(1a)x，若x3x2ax1(1a)x，则有方程x3x2x10，解得x1或x1，所以曲线yf(x)过坐标原点的切线与曲线yf(x)的公共点的坐标为(1，1a)和(1，1a).