1、第二章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在ABCD中，等于(D)A. B. C. D.解析：.2已知向量a(x5,3)，b(2，x)且ab，则x的值为(C)A2或3 B1或6 C2 D6解析：本题考查向量垂直的条件依题意得ab2(x5)3x0，x2，选C.3若向量a(2,0)，b(1,1)，则下列结论正确的是(C)Aab1 B|a|b| C(ab)b Dab解析：ab2，所以A不正确；|a|2，|b|，则|a|b|，所以B不正确；ab(1，1)，(ab)b(1，1)(1,1)0，所以(ab)b，所以C正确；由
2、于210120，所以a，b不平行，所以D不正确4在四边形ABCD中，已知a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(C)A平行四边形 B矩形 C梯形 D菱形解析：8a2b2，四边形ABCD为梯形5若向量a，b的夹角为，且|b|4，(a2b)(a3b)72，则|a|是(C)A2 B4 C6 D12解析：本题主要考查平面向量的数量积由(a2b)(a3b)72，|b|4，夹角为，得|a|22|a|240，解得|a|6，故选C.6已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上一点P使有最小值，则P点的坐标为(C)A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0)解析：设P(x,0)，
3、则(x2，2)，(x4，1)，(x3)21，当x3时，有最小值1，P(3,0)7设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|(B)A B C2 D10解析：由题意知解得故ab(3，1)，从而|ab|.8下列说法中正确的个数为(A)(1)；(2)若ab0，则向量a与b的夹角是钝角；(3)向量e1(2，3)，e2(，)能作为表示平面内所有向量的一组基底；(4)若ab，则a在b上的射影为|a|.A1 B2 C3 D4解析：()，(1)正确；当|a|b|1，且a与b反向时，ab10)，则(bc)(da)表示向西南走了S千米解析：(bc)(da)(bd)(ac)，(
4、bd)表示“向南走S千米”，(ac)表示“向东走S千米”，两式相减就表示“向西南走S千米”12已知向量a(2,1)，b(0,1)，若存在实数使得b(ab)，则等于1.解析：b(ab)，b(ab)abb210，解得1.13在ABC中，D在BC边上，且2，若pq，则pq0.解析：2，.又，()，p，q，pq0.14已知向量a(6,2)，b，直线l过点A(3，1)且与向量a2b垂直，则直线l的方程为2x3y90.解析：设B(x，y)为直线l上任意一点(不与A重合)，则(x3，y1)，又a2b(6,2)2(2,3)，由题意得(a2b)0，所以(x3，y1)(2，3)2(x3)3(y1)0，即2x3y9
5、0.15如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为52.解析：注意到在本题中向量与向量的差为定向量，于是4()2()2()24.取CD的中点M，连接PM，AM，则有21，如图，问题转化为求21的最小值，显然当A，P，M三点共线时，21取得最小值(1)2152.三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题12分)已知(1,3)，(3，m)，(1，n)，.(1)求实数n的值；(2)若，求实数m的值解：(1)(1,3)，(3，m)，(1，n)，(3,3mn)，3(3m
6、n)3m0，n3.(2)由(1)得(1，3)，(2,3m)，(4，m3)，8(3m)(m3)0，m1.17(本小题12分)设点M、N、P是ABC三边上的点，它们使，若a，b，试用a、b作为基底，将、表示出来解：()ba.同理可得ab.()ab.18(本小题12分)如图，在ABC中，设a，b，点D在BC边上(1)若D为BC边中点，求证：(ab)；(2)若ab，求证：1.证明：(1)a，b，ba，又D为BC边中点，(ba)a(ba)(ab)(2)点D在BC边上，则存在实数t(0t1)，使得tt(ba)，则at(ba)(1t)atb，若ab，则1t，t，(1t)t1.19(本小题12分)平面内给定三
7、个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求ab；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)设d(x，y)满足(dc)(ab)，且|dc|1，求d.解：(1)ab(3,2)(1,2)341.(2)因为(akc)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，所以2(34k)5(2k)0，即k.(3)因为dc(x4，y1)，ab(2,4)，且(dc)(ab)，|dc|1，所以解得 或所以d或d.20(本小题13分)在RtABC中，已知A90，BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值解：解法一：如图，0.，()()a20a2()
8、a2a2a2cos.故当cos1，即0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|AB|c，|AC|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，设点P的坐标为(x，y)，由题意知|PQ|2a，|BC|a，则Q(x，y)，x2y2a2，(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cos，cxbya2cos，a2a2cos.故当cos1，即0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.21(本小题14分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标解：(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.A，E，C三点共线，存在实数k，使得k，即e1(1)e2k(2e1e2)，则(12k)e1(k1)e2.e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，解得k，.(2)3e1e2(6，3)(1,1)(7，2)(3)四边形ABCD为平行四边形，.设A(x，y)，则(3x,5y)由(2)知(7，2)，解得即点A的坐标为(10,7)