1、第二章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1在ABC中，已知M是BC的中点，设a，b，则(A)A.ab B.ab Cab Dab解析：ba，故选A.2已知下列四个等式：0；00.其中正确的个数为(C)A1 B2 C3 D4解析：因为0，()，00，所以正确的等式有，故选C.3已知向量a(3,4)，b(sin，cos)，且ab，则tan(A)A. B C. D解析：由ab得3cos4sin0.即4sin3cos，tan.4设四边形ABCD中，有，且|，则这个四边形是(C)A平行四边形 B矩形 C等腰梯形 D菱形解析：由，可知对边AB、DC平行但不相等，又|，所以四边形为等腰梯形5在AB
2、C中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上，且满足2，则()等于(A)A B C. D.解析：M为BC中点，2，()|22.6已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|(C)A. B. C5 D25解析：a(2,1)，|a|.又|ab|5，|ab|2a2b22ab，(5)2()2|b|2210，|b|225，|b|5.7已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为(C)A. B. C. D.解析：由题意，得a(2ab)2a2ab0，即ab2a2，所以cosa，b，所以a，b，故选C.8已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12e2与b3e1e2
3、的夹角为，则cos等于(C)A. B. C. D.解析：因为a2942329，b2912318，ab929118，所以cos.9已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足，则|(D)A13 B31 C12 D21解析：由，得()()，即，所以|2|，故|21.10已知非零向量与满足0且，则ABC为(A)A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形解析：由0，知BAC的角平分线与BC垂直，ABAC.又，cosBAC，BAC为ABC的一个内角，则BAC.ABC为等边三角形11如图，过点M(1,0)的直线与函数ysinx(0x2)的图象交于A，B两点，则()等于(B)A1 B
4、2 C3 D4解析：设N(2,0)，由题意知，()(1,0)(2,0)2.12如图，在ABC中，已知AB2，AC3，BAC，点D为BC的三等分点(靠近点B)，则的取值范围为(D)A. B. C. D.解析：易知(0，)，所以cos(1,1)，则()2()24223cos4(94223cos)(，)二、填空题(每小题5分，共20分)13已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为90.解析：由()可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即BAC90，故与的夹角为90.14向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则4.解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量
5、，则aij，b6i2j，ci3j，所以存在、R，使i3j(ij)(6i2j)，所以2，所以4.15在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为.解析：作COAB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以.16如图所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADAB，ADDC2，AB3，点M是ABC内(包括边界)的一个动点，点N是CD边的中点，则的最大值是6.解析：以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，D(0,2)，因此CD中点N的坐标为(
6、1,2)，直线BC的方程为y2x6.要使最大，则M在BC上，设M(，26)(23)则(，26)，(1,2)，2(26)123，23，当2时，取得最大值6.三、解答题(共70分)17(本小题10分)在平行四边形ABCD中，如图，E、F依次是对角线AC上的两个三等分点，设a，b，试用a与b表示和.解：b(ab)ab，a(ab)ab.18(本小题12分)已知A(1,2)，B(2,8)(1)若，求的坐标；(2)设G(0,5)，若，求E点坐标解：(1)(3,6)，(1,2)，(2，4)，(2,4)(1,2)(1,2)(2)设E(x，y)，则(x1，y2)，(x2，y8)，(2，3)，解得E点坐标为.19
7、.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4,0)，C(1，)(1)求ABC的大小；(2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点)，求的取值范围解：(1)由题意得(4,0)，(1，)四边形OABC是平行四边形，cosABCcosAOC，ABC.(2)设P(t，)，其中1t5，则(t，)(2,0)(1，)(1，)，(t，)(1，)t3，故的取值范围是2,220(本小题12分)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60.(1)求ab与a的夹角的余弦值；(2)当|atb|取得最小值时，试判断atb与b的位置关系，并说明理由解：
8、(1)设ab与a的夹角为.由已知得ab|a|b|cos601，|ab|，于是cos.(2)(atb)b.理由如下：|atb|，当且仅当t时，|atb|取得最小值，此时(atb)babb2110，所以(atb)b.21(本小题12分)在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0.由2，得，所以()()()()22368118.(2)由题意，所以()()22361818，又6，所以186，所以36.又|cos96cos54cos，所以54cos36，即cos.所以与夹角的余弦值为.22(本小题12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos，t)(1)若a，且|，求向量OB的坐标；(2)若a，求ycos2cos2的最小值解：(1)因为(cos1，t)，且a，所以cos12t.又因为|，所以(cos1)2t25.由得，5t25，所以t21，所以t1.当t1时，cos3(舍去)；当t1时，cos1.故B(1，1)，所以(1，1)(2)由a可知t22cos，所以ycos2coscos2cos2，所以当cos时，y取得最小值.