1、第 3 讲 运动图像 追及相遇问题 知识点1 匀变速直线运动的图像 【思维激活1】(2014普陀区模拟)甲、乙两位同学进行百米赛跑,假如把他们的运动近似为匀速直线运动来处理,他们同时从起跑线起跑,经过一段时间后他们的位置如图所示,分别作出在这段时间内两人运动的位移s、速度v与时间t的关系图像,正确的是()【解析】选B。由题图及题干可知,甲、乙均做匀速直线运动且乙的速度比甲大,在s-t图像中,斜率表示速度,则乙的斜率大于甲的斜率,A错,B正确;在v-t图像中,表示甲、乙两同学运动的图线水平且乙在上,甲在下,故C、D均错误。【知识梳理】1.直线运动的s-t图像：(1)物理意义：反映了物体做直线运动
2、的_随_变化 的规律。(2)斜率的意义。图线上某点切线斜率的大小表示物体速度的_。切线斜率的正负表示物体速度的_。位移 时间 大小 方向 2.直线运动的v-t图像：(1)物理意义：反映了物体做直线运动的_随_变化 的规律。(2)斜率的意义。图线上某点切线斜率的大小表示物体加速度的_。图线上某点切线斜率的正负表示物体加速度的_。(3)“面积”的意义。图线与时间轴围成的面积表示相应时间内_的大小。a.若面积在时间轴上方,表示位移方向为_。b.若面积在时间轴下方,表示位移方向为_。速度 时间 大小 方向 位移 正方向 负方向 知识点2 追及和相遇问题 【思维激活2】(多选)(2014自贡模拟)两辆游
3、戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶,t=0时两车都在同一计时处,此时比赛开始,它们在四次比赛中的v-t图像如图所示,其中哪些图对应的比赛中,有一辆赛车追上了另一辆()【解析】选A、C。v-t图线与t轴所围图形的面积的数值表示位移的大小,A、C两图中在t=20s时a、b两车的位移大小都相等,故在20s时b车追上a车;B图中b车一直领先,间距越来越大;D图中a车在前7.5s一直落后,在7.512.5s间尽管a车速度大于b车,但由于前7.5s落后太多未能追上b车,12.5s后vavb,故a车不能追上b车。【知识梳理】1.追及问题的两类情况：(1)若后者能追上前者,追上时,两者处于_位置,且后者 速
4、度一定大于前者速度。(2)若追不上前者,则当后者速度与前者速度_时,两者相 距最近。2.相遇问题的两类情况：(1)同向运动的两物体追及并相遇。(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和_开始 时两物体间的距离时即相遇。同一 相等 等于【微点拨】1.对运动图像的三点认识：(1)匀速直线运动的v-t图像的斜率为零,表示其加速度等于零。(2)无论是s-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。(3)s-t图像和v-t图像不表示物体运动的轨迹。2.解决追及、相遇问题的两个关键点：(1)在解决追及、相遇类问题时,要紧抓“一图三式”,即运动过程示意图、时间关系式、速度关系式和位移关系式,最后还要注意对结
5、果的讨论分析。(2)分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。考点1 运动图像的应用 两种图像的比较：深化理解s-t图像 v-t图像 图 像 其中为抛物线 其中为抛物线 物理意义 反映的是位移随时间的变化规律 反映的是速度随时间的变化规律 s-t图像 v-t图像 物 体 的 运 动 性 质 表示从正位移处开始一直做反向匀速直线运动并越过零位移处 表示先做正向匀减速运动,再做反向匀加速运动 表示物体静止不动 表示物体做正向匀速直线运动 表示物体从零位移开始做正向匀速运动 表示物体从
6、静止做正向匀加速直线运动 表示物体做正向匀加速直线运动 表示物体做加速度增大的正向加速运动 s-t图像 v-t图像 斜率的意义 斜率的大小表示速度的大小,斜率的正负表示速度的方向 斜率的大小表示加速度的大小,斜率的正负表示加速度的方向 图线与坐标轴围成“面积”的意义 无实际意义 表示相应时间内的位移【题组通关方案】【典题1】(多选)(2013新课标全国卷)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行 驶的汽车a和b的位置时间(x-t)图线。由图可知()A.在时刻t1,a车追上b车 B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加 D.在t1到t2这段时间内
7、,b车的速率一直比a车的大【解题探究】(1)试由图像分析汽车b的运动情况。b车速率先_后_。b车速度方向先_后_。(2)试分析t1、t2两个时刻a、b两车的运动情况。t1时刻,a车速度_b车速度,两车速度方向_。t2时刻,a、b两车速度方向_。减小 增大 正方向 负方向 小于 相同 相反【典题解析】选B、C。由x-t图像中直线a和曲线b的斜率及变化可知汽车a一直沿正方向做匀速直线运动,汽车b先沿正方向做速度越来越小的变速直线运动,速度为零以后再向负方向做速度越来越大的变速直线运动,其中t1、t2时刻a、b两车处于同一位置,且在t1时刻,b车追上a车,所以选项A错、选项B对;t1到t2时间内汽车
8、a一直做匀速运动,汽车b先减速后加速,故选项C对、选项D错。【通关1+1】1.(多选)(2013四川高考)甲、乙两 物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运 动,其v-t图像如图所示,则()A.甲、乙在t=0到t=1s之间沿同一方 向运动 B.乙在t=0到t=7s之间的位移为零 C.甲在t=0到t=4s之间做往复运动 D.甲、乙在t=6s时的加速度方向相同【解析】选B、D。在t=0到t=1s之间,甲沿正方向运动,而乙先沿负方向运动,再沿正方向运动,故选项A错误;在t=0到t=7s之间,乙在t上方所围面积与下方所围面积相等,则t=0到t=7s之间的位移为零,故选项B正确;甲在t=0到t=4s之间速度
9、是正值,则甲沿正方向运动,故选项C错误;甲、乙在t=6s时的加速度方向与正方向相反,故选项D正确。2.(多选)(2014台州模拟)下列给出的四组图像中,能够反映同一直线运动的是()【解析】选B、C。A、B选项中的左图表明03s内物体匀速运 动,位移正比于时间,加速度为零,35s内物体匀加速运动,加 速度大小a=2m/s2,A错,B对;C、D选项中左图03s位移不 变,表示物体静止(速度为零,加速度为零),35s内位移与时 间成正比,表示物体匀速,v=2m/s,a=0,C对,D错。vtst【加固训练】1.(2014奉贤区模拟)一物体运动的速度随时间变化的关系如图所示,根据图像可知()A.4s内物
10、体在做曲线运动 B.4s内物体的速度一直在减小 C.物体的加速度在2.5s时方向改变 D.4s内物体速度的变化量的大小为8m/s【解析】选D。v-t图像只能描述直线运动,A错误;4s内由图像知物体的速度先减小后反向增大,B错误;2.5s时,物体速度改变方向,加速度方向不变,C错误;4s内速度变化量大小为v=8m/s,D正确。2.(多选)某物体的位移图像如图所示,则下列叙述正确的是()A.物体运动的轨迹是抛物线 B.物体运动的时间为8s C.物体运动所能达到的最大位移为80m D.在t=4s时刻,物体的瞬时速度为零【解析】选B、C、D。位移随时间的变化关系曲线并非物体运动的轨迹。由图像可知,在0
11、4s内物体沿正方向前进80m,非匀速,48s内物体沿与原来相反的方向运动至原点。在t=4s时,图线上该点处切线的斜率为零,故此时速度为零。由以上分析知A错,B、C、D均正确。【学科素养升华】可从v-t图像中读出的四个物理量(1)运动速度：从速度轴上直接读出。(2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻,取差得到运动时间。(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度,斜率的大小表示加速度的大小,斜率的正负反映了加速度的方向。(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线与时间轴围成的面积表示位移的大小,第一象限的面积表示与规定的正方向相同,第四象限的面积表示与规定的正方向相反。考点2 追及和相遇
12、问题 1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件：(1)两个关系：即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画运动示意图得到。(2)一个条件：即两者速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。解题技巧2.追及相遇问题常见的情况：假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距s0,有两种常见情况：(1)A追上B时,必有sA-sB=s0,且vAvB。(2)要使两物体恰好不相撞,两物体同时到达同一位置时速度相同,必有sA-sB=s0,vA=vB。若使两物体保证不相撞,此时应有vAv甲,两车逐渐远离,t=10s时,v乙=v甲,两车相距最远,1020s内,v乙v甲
13、,两车逐渐靠近,故A、B、D错误;v-t图线与时间轴所围的面积表示位移,515s内,两图线与t轴包围的面积相等,故两车的位移相等,C正确。2.A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶,当B车在A车前84m处时,B车速度为4m/s,且正以2m/s2的加速度做匀加速运动;经过一段时间后,B车加速度突然变为零。A车一直以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇,B车加速行驶的时间是多少?【解析】设A车的速度为vA,B车加速行驶的时间为t,两车在t0时相遇。则有xA=vAt0 xB=vBt+at2+(vB+at)(t0-t)xA、xB分别为A、B两车相遇前的位移。依题意有xA=xB+x0 联立式,
14、解得t1=6s,t2=18s,t2=18s不合题意,舍去。因此,B车加速行驶的时间为6s。答案：6s 12【学科素养升华】求解追及和相遇问题常用的三种方法(1)临界值法：在追及和相遇问题中,速度相等是两物体相距最近或相距最远的临界条件。(2)图像法：s-t图像中两物体的位移图像相交、v-t图像中所围面积相等都说明两物体相遇。(3)数学分析法：设在t时刻两物体能相遇,然后根据几何关系列出关于t的一元二次方程,若其方程无正实数解,则两物体不可能相遇;如有正实数解,则两物体可能相遇。【资源平台】利用图像信息解决实际问题(2014南通模拟)被称为“史上最严交规”于2013年1月1日起施行。对校车、大中
15、型客货车、危险品运输车等重点车型驾驶人的严重交通违法行为,提高了记分分值。如图是张明在2013年元旦假期试驾中某次小轿车在平直公路上运动的025s内的速度随时间变化的图像,由图像可知()A.小轿车在015s内的位移为350m B.小轿车在1015s内加速度最大 C.小轿车在28s内的加速度大于1624s内的加速度 D.小轿车在15s末运动方向发生改变【解析】选C。根据面积的大小等于位移的大小,在015s内的位移为200m,A错误;1015s内小轿车做匀速运动,B错误;28s内的加速度是2m/s2,1624s内的加速度大小为1m/s2,故28s内的加速度大,C正确;轿车的速度始终大于零,运动方向
16、不变,D错误。思想方法之1 巧解追及相遇问题的三种方法 1.三种方法：(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件。例如,速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。(2)函数法：设在t时刻两物体相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇。(3)图像法。若用位移图像求解,分别作出两个物体的位移图像,如果两个物体的位移图像相交,则说明两物体相遇。若用速度图像求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。2.常
17、见类型：(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题。(2)两个做匀加速直线运动物体的追及相遇问题。(3)求追及相遇过程中距离的极值问题。3.一般解题思路：(1)分析物体的运动过程,画运动示意图或v-t图像。(2)选择恰当的方法,根据位移、时间、速度关系列方程。(3)代入数据求解,必要时对结果的合理性进行讨论。【案例剖析】典题例证 深度剖析 在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足的条件。【精讲精析】解法一：(物理分析法)A、B车的
18、运动过程(如图甲)利用位移公式、速度公式求解。对A车有 sA=v0t+(-2a)t2 vA=v0+(-2a)t 对B车有sB=at2 vB=at 对两车有s=sA-sB 追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0=故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0 12126as6as。解法二：(极值法)利用判别式求解,由解法一可知 sA=s+sB,即v0t+(-2a)t2=s+at2 整理得3at2-2v0t+2s=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(2v0)2-43a2s0,即v0 时,t无实数解,即两车不相撞,所以要 使两车不相撞,A车的初速度v0
19、应满足的条件是v0 126as6as。12解法三：(图像法)利用速度时间图像求解,先作A、B两车的速度时间图像,其图像如图乙所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有 vA=vt=v0-2at,对B车有vB=vt=at 以上两式联立解得t=0v3a经t时间两车发生的位移之差,即为原来两车间的距离s,它可用图中的阴影面积表示,由图像可知 s=v0t=v0 所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0 答案：v0 126as6as。12200vv3a6a【自我小测】小试身手 固本强基 甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车
20、经过乙车旁边开始以0.5m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求：(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;(2)乙车追上甲车所用的时间。【解析】方法一 临界值法(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,设该减速过程经过的时间为t,则v乙=v甲-at 解得：t=12s 此时甲、乙间的距离为s=v甲t-at2-v乙t=1012m-0.5122m-412m=36m 1212(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有：t1=20s t1时间内：s甲=20m=100m s乙=v乙t1=420m=80m 此后乙车运动时间：t2=5s 故乙车追上甲车需t1+t2=25s va甲1v10t22甲ss20 sv4甲乙乙方法二 函数法(1)设甲、乙两车距离为s 则s=v甲t-at2-v乙t=10t-0.5t2-4t=6t-=(t2-24t+144)+36=(t-12)2+36 当t=12s时,smax=36m 12122t41414(2)当乙车追上甲车时s=0,t=24s 但甲刹车时间为t甲=20s20s)则：1020m=4t2 t2=25s 答案：(1)36m(2)25s 12