1、3.4 基本不等式基础巩固一、选择题1若a、bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2答案D解析a2b22ab(ab)20，A错误对于B、C，当a0，b0，22.2设0ab，则下列不等式中正确的是()AabBabCabDab答案B解析0ab，a0，即a，故选B3设x、yR，且xy5，则3x3y的最小值为()A10B6C4D18答案D解析xy5,3x3y22218.4已知正项等差数列an中，a5a1610则a5a16的最大值为()A100B75C50D25答案D解析a50，a160，a5a1610，a5a16()2()225，当且仅当a5a165时，等号成立5设
2、a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D答案B解析根据题意得3a3b3，ab1，24.当ab时“”成立故选B6若0a1,0b1，且ab，则ab,2，2ab，a2b2中最大的一个是()Aa2b2B2C2abDab答案D解析解法一：0a1,0b2ab，ab2，aa2，bb2，aba2b2，故选D解法二：取a，b，则a2b2，2，2ab，ab，显然最大二、填空题7设实数a使a2a20成立，t0，比较logat与loga的大小，结果为_答案logatloga解析a2a20，a2或a1，又a0且a1，a1，t0，logalogalogat，logatloga.8函数yx(32
3、x)(0x1)的最大值为_答案解析0x1，32x0，y2x(32x)2，当且仅当2x32x即x时，取“”号三、解答题9已知a、b是正数，试比较与的大小解析a0，b0，20.即.10已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，求三角形OAB面积的最小值解析设A(a,0)、B(0，b)，则直线AB的方程为1，又直线过点P(2,1)，112，ab8.当且仅当即a4，b2时等号成立SOAB的最小值为84.一、选择题1已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则 的最小值是()A2B2C4D2答案C解析由lg2xlg8ylg2，得lg2x3ylg2，x3y1，()(
4、x3y)24，当且仅当，即x，y时，等号成立2a(x1,2)，b(4，y)(x、y为正数)，若ab，则xy的最大值是()ABC1D1答案A解析由已知得4(x1)2y0，即2xy2.xyx(22x)()2.3设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数答案A解析x0，y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0B1C2D4答案D解析由等差、等比数列的性质得2224.当且仅当xy时取等号，所求最小值为4.二、填空题5已知ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg()，则P、Q、R的大小关系是_答案PQb1，所以lgalgb0，所
5、以(lgalgb)，即QP，又因为，所以lglg(lgalgb)，所以RQ.故PQ0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_答案4解析函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)mn10，即mn1.又mn0，()(mn)2()224，当且仅当mn时，等号成立三、解答题7今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论解析不对设左、右臂长分别为l1、l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：l1Gl2a，l2Gl1b，得G2ab，G，由于l1l2，故ab，由均值不等式知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数8求函数y12x的值域解析y12x1(2x)当x0时，2x22.当且仅当2x，即x时取等号y1(2x)12.当x0时，y1(2x)()2x()22.当且仅当2x时，即x时取等号此时y12x12综上知y(，1212，)函数y12x的值域为(，12)12，)