1、河北省沧州市盐山中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题.1. 设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.2. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线的离心率”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先根据渐近线求离心率，再根据离心率求渐近线，即可确定选项【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的离心率或双曲线的离心率时，所以双曲线的渐近线方程为或，因
2、此“双曲线的离心率”是“双曲线的渐近线方程为”的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查双曲线离心率与渐近线、充要关系判断，考查基本分析求解与判断能力，属基础题.3. 2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和
3、政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.4. 设动点P到A(5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据课本中所给定义可得到轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c5，a3，b4，进而得到方程.【详解】由题意得动点P到A(5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6,知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c5，a3，b4，点P的轨迹方程是.故答案为：D.【点睛
4、】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.5. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；西部地区学生小刘被选中的概率为；中部地区学生小张被选中的概率为A
5、. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离
6、心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用点差法列式，化简后求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.直线:的斜率为，故.因为两点在双曲线上，所以，两式相减并化简得，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查点差法的运用，考查双曲线离心率的求法，属于中档题.7. 北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行为纪念申奥成功，中国邮政发行北京申办2022年冬奥会成功纪念邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有
7、1枚吉祥物邮票的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可【详解】解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率，故选：C【点睛】本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率，是基础题.8. 已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则()A. 1B. 11C. 1或11D. 21【答案】C【解析】【分析】先求出，由题得，即，解方程即得解.【详解】，而，即，解得或11.故选：C【点睛】
8、本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.9. 若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为( )A. 36B. 16C. 20D. 24【答案】B【解析】设则,即,又,故选B.10. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得【详解】由题意以为空间向量的基底，与夹角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示
9、，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角11. 已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先过作，过作（为准线），易得，.根据直线：与抛物线联立得到，根据焦点弦性质得到，结合已知即可得到，再计算即可.【详解】如图所示：过作，过作（为准线），.因为，设，则，.所以.中，所以.则.，直线为.，.所以，.在中，.所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.12. 已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，甲：；乙：；丙：；丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有
10、几个（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.【详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.对于甲条件，得，甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于乙条件，得，此时，直线过抛物线的焦点，乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；对于丙条件，即，解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”必要不充分条件；对于丁条件，化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.综上所述
11、，正确的结论只有个，故选B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.二、填空题.13. 设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，求得到右焦点的距离.【详解】依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14. 正三棱柱中，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_【答案】【解析】【分析】利用向量的方法，以
12、为基底表示，并计算，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【详解】如图，由侧棱和底面垂直，所以且，且，异面直线与成角的大小为故答案为：【点睛】本题考查利用向量的方法求解异面直线所成的角，本题关键在于选择合适的向量作为基底，考查计算能力，属基础题.15. 已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】过点作直线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，根据抛物线的定义可知，所以，过点作直线的垂线，垂足为，当点在与抛物线的交点时，最小，从而可求出答案.【详解】如图，焦点为，抛物线的准线方程为，过点作直线的垂线，
13、垂足为，则，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，则，根据抛物线的定义可知，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则,当点在与抛物线的交点时，最小，为，此时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16. 已知双曲线的左，右焦点分别为，又点，若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为_【答案】【解析】【分析】原问题等价于 ，又，即，即可得即可求解【详解】如图所示：，即，点均满足，当点位于点时，最小，故，即，即或， 即或.双曲线的离心率的取值范围为.故答案为.【点睛】题考查了双曲线的性质、离心率，考查逻辑推理
14、，数学运算核心素养，属于中档题三、解答题.17. 已知命题，不等式成立”是真命题(I)求实数取值范围；(II)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（I）（II）【解析】【分析】()根据命题P是真命题,得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立,即可得到;()先化简命题,再根据是的充分不必要条件列式可解得.【详解】（I）由题意在恒成立，所以,因为，所以，即,，所以实数m的取值范围是 （II）由q得，因为，所以，即所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用,属于中档题.18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口
15、罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的
16、质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）（2）平均数为71，中位数为73.33（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得的值；（2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【详解】（1）由，得.（2）平均数为，设中位数为，则，得.故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60
17、个、40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为，2个二等品为，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：，.共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.19. 如图，在三棱柱中，底面，是的中点，且.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）根据线面平行的判断定理可得证；（）以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，运用线面向量求
18、解方法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（）如图，由三棱柱，得，又因为平面，平面，所以平面；（）因为底面，所以，两两垂直，故分别以，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，由，得令，得.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.20. 平顶山市公安局交警支队依据中华人民共和国道路交通安全法第条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以元罚款，记分的行政处罚如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的个月内，机动车驾驶员不“礼让
19、斑马线”行为统计数据：月份违章驾驶员人数（）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数参考公式：，【答案】（）；（）人.【解析】【分析】（）计算出和，然后根据公式，求出和，得到回归直线方程；（）根据回归直线方程，代入【详解】解：（）由表中数据，计算；，所以与之间的回归直线方程为；（）时，预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题.21. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA1的中点，BCBD1，（1）求证：MD平面B
20、DC1；（2）求二面角M-BC1-D的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明BDMD和MDBC1即可证明MD平面BDC1；（2）以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）因为BC=BD=，CD=AB=，可得BC2+BD2=CD2，BDBC，又 ADBC，BDAD . 又ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱， DD1平面ABCD，DD1BD .，BD平面ADD1A1，BDMD，取BB1中点N，连接NC ，MN，且，为平行四边形， = ， ，BC1CN， 又 MDNC，MDBC1，又BC1=B，MD平面BDC1；（2）以DA为
21、x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系，则，由（1）可知为平面BDC1的一个法向量，设平面C1BM的一个法向量为， ，则，可取，设二面角M-BC1- D为，所以，即二面角M-BC1- D的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求面面角，属于中档题.22. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，又，由解得，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：易得，直线的方程为，因为直线不过点，所以，由，得，所以，从而，直线的斜率为，故直线的方程为.令，得，直线的斜率.所以直线的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
