1、2015-2016学年河北省沧州市黄骅中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为=+（），若某儿童记忆能力为12，则他识图能力为（）A9.2B9.8C9.5D102某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）A7，11，18B6、12、18C6、13、17D7、14、213已知随机变量X服从正态分布N（，2），且P（2
2、X+2）=0.954 4，P（X+）=0.6826若=4，=1，则P（5X6）=（）A0.1359B0.1358C0.2718D0.27164在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A众数B平均数C中位数D标准差5设abc，nN，且恒成立，则n的最大值是（）A2B3C4D66将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）ABCD7若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4
3、）2（a1+a3）2的值是（）A1B1C0D28设不等的两个正数a，b满足a3b3=a2b2，则a+b的取值范围是（）A（1，+）BCD（0，1）9若logxy=2，则x+y的最小值为（）ABCD10某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72B120C144D16811在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+n）=2n123（2n1）（nN*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A2k+1B2（2k+1）CD12已知集合M=1，2，3，N=1，2，3，4，定义函数f：MN若点A（1，f（1）、B（2，f（2）、C
4、（3，f（3），ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（）A6个B10个C12个D16个二、填空题（每题5分，共20分）13若关于x的不等式|x+3|+|x1|a恒成立，则a的取值范围是14二项式（nN）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是15已知方程x1+x2+x3=30，则这个方程有组正整数解16已知对于任意非零实数m，不等式|5m3|+|34m|m|（x）恒成立，则实数x的取值范围是三、解答题（共70分）17（选修45：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设
5、a1，且当时，f（x）g（x），求a的取值范围18用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）19某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50，60），60，70），70，80），
6、80，90），90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 25周岁以下组 合计附表：P（K2k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828K2=，（其中n=a+b+c+d）20从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：
7、千元）的数据资料，计算得xi=80， yi=20， xiyi=184， xi2=720（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄21将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，（）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；（）在容器 入口处依次放入4个小球，记为落入B袋中的小球个数，求的分布列和数学期望22设a，b均大于0，且+=1求证：对于每个nN*，都有
8、（a+b）n（an+bn）22n2n+12015-2016学年河北省沧州市黄骅中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为=+（），若某儿童记忆能力为12，则他识图能力为（）A9.2B9.8C9.5D10【考点】线性回归方程【分析】利用平均数公式求出样本的中心点坐标（，），代入回归直线方程求出系数a再将x=12代入可得答案【解答】解：=（4+6+8+10）=7； =（3+5+6+8）=5.5，样本的中心点坐标为（7，5.5）
9、，代入回归直线方程得：5.5=7+，=0.1=0.1，当x=12时， =120.1=9.5，故选：C2某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）A7，11，18B6、12、18C6、13、17D7、14、21【考点】分层抽样方法【分析】由题意，要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则，求出各层应抽取的人数即可选出正确选项【解答】解：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为42=7人，中年人应抽取的人数为42=14人，青年
10、人应抽取的人数为42=21人故选：D3已知随机变量X服从正态分布N（，2），且P（2X+2）=0.954 4，P（X+）=0.6826若=4，=1，则P（5X6）=（）A0.1359B0.1358C0.2718D0.2716【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据变量符合正态分布，和所给的和的值，根据3原则，得到P（2X6）=0.9544，P（3X5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（，2），P（2X+2）=0.9544，P（X+）=0.6826，=4，=1，P（2X6）=0.9544，P（3X5）=0.6826，P（2X6P
11、（3X5）=0.95440.6826=0.2718，P（5X6）=0.2718=0.1359故选：A4在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A众数B平均数C中位数D标准差【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，
12、不相等，A错平均数86，88不相等，B错中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2= （8286）2+2（8486）2+3（8686）2+4（8886）2=4，标准差S=2，B样本方差S2= （8488）2+2（8688）2+3（8888）2+4（9088）2=4，标准差S=2，D正确故选D5设abc，nN，且恒成立，则n的最大值是（）A2B3C4D6【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】分离参数n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值【解答】解：恒成立恒成立的最小值=2+得n4故选C6将三颗骰子各掷一次，设事件
13、A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率代入算式得到结果【解答】解：P（A|B）=P（AB）P（B），P（AB）=P（B）=1P（）=1=1=P（A/B）=P（AB）P（B）=故选A7若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值是（）A1B1C0D2【考点】二项式定理的应用【分析】给二项展开式的x分别赋值1，1得到两个等式，两个
14、等式相乘求出待求的值【解答】解：令x=1，则a0+a1+a4=，令x=1，则a0a1+a2a3+a4=所以，（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=（a0+a1+a4）（a0a1+a2a3+a4）=1故选A8设不等的两个正数a，b满足a3b3=a2b2，则a+b的取值范围是（）A（1，+）BCD（0，1）【考点】不等式比较大小【分析】根据题意及立方差公式的展开形式可得出a2+ab+b2=a+b的值，然后可求出ab与a+b的关系式，结合基本不等式即可得出答案【解答】解：由a2+ab+b2=a+b，得：（a+b）2（a+b）=ab，而所以，得故选B9若logxy=2，则x+y的最小值为（）ABCD
15、【考点】基本不等式【分析】先根据logxy=2得到x与y的关系，再代入到x+y中得到x+y=x+x2=+x2，再由基本不等式可得到最后答案【解答】解：logxy=2y=x2x+y=x+x2=+x23=当且仅当，即x=时等号成立即最小值等于故选A10某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72B120C144D168【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，分2步进行分析：、先将3个歌舞类节目全排列，、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答
16、案【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是642=48种；将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是626=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B11在用数学归纳法证明（n+1）（
17、n+2）（n+n）=2n123（2n1）（nN*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A2k+1B2（2k+1）CD【考点】数学归纳法【分析】欲求从k到k+1，左端需要增加的项，先看当n=k时，左端的式子，再看当n=k+1时，左端的式子，两者作差即得【解答】解：当n=k+1时，左端=（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1）（k+1+k+1），所以左端增加的代数式为（k+k+1）（k+1+k+1）=2（2k+1），故选B12已知集合M=1，2，3，N=1，2，3，4，定义函数f：MN若点A（1，f（1）、B（2，f（2）、C（3，f（3），ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数
18、f（x）有（）A6个B10个C12个D16个【考点】分类加法计数原理；向量的共线定理【分析】本题从，说明ABC是等腰三角形，f（1）=f（3）；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用【解答】解：由，说明ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）f（2）；点A（1，f（1）、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种因而满足条件的函数f（x）有12种故选C二、填空题（每题5分，共20分）13若关于x
19、的不等式|x+3|+|x1|a恒成立，则a的取值范围是（，4）【考点】绝对值不等式的解法【分析】由题意可得，|x+3|+|x1|的最小值大于a；而由绝对值三角不等式求得|x+3|+|x1|的最小值为4，从而求得a的范围【解答】解：关于x的不等式|x+3|+|x1|a恒成立，故|x+3|+|x1|的最小值大于a而由|x+3|+|x1|（x+3）（x1）|=4，可得|x+3|+|x1|的最小值为4，故有4a，故答案为：（，4）14二项式（nN）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是3【考点】二项式定理的应用【分析】由条件可得 22n1=2n+2n2，求得n的值，在的展开式
20、的通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的值，可得此展开式有理项的项数【解答】解：由题意可得2n、2n1、2n2 成等差数列，即22n1=2n+2n2，化简可得 n29n+8=0，解得n=8，或n=1（舍去）故二项式= 的展开式的通项公式为 Tr+1=28r，令为整数，可得r=0，4，8，故此展开式有理项的项数是3，故答案为：315已知方程x1+x2+x3=30，则这个方程有406组正整数解【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，将原问题转化为30个小球的分组问题：假设有30个完全相同的小球，将其排成一列，利用挡板法将其分成3组，3个小组的小球数目分别对应x1、x2、x3，由组合数公式计算即可
21、得答案【解答】解：假设有30个完全相同的小球，将其排成一列，共有29个空位，在其中选2个，插入挡板，即可将30个小球分成3组，有C292种分组方法；第一组小球的数目是x1，第二组小球的数目是x2，第三组小球的数目是x3，则方程的正整数解的组数就是C292=406故答案为：40616已知对于任意非零实数m，不等式|5m3|+|34m|m|（x）恒成立，则实数x的取值范围是（，1（0，2【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式【分析】不等式恒成立，我们可变形为恒成立，又因为根据绝对值不等式可得到左边大于等于1，从而可得到1，利用分式不等式的解法即可求得x的取值范围【解答】解：已知不等式恒成立，可变形为
22、恒成立，因为对于任意非零实数m，所以只需1得x的取值范围为（，1（0，2，故答案为（，1（0，2三、解答题（共70分）17（选修45：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当时，f（x）g（x），求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质【分析】（）当a=2时，求不等式f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设y=|2x1|+|2x2|x3，画出函数y的图象，数形结合可得结论（）不等式化即 1+ax+3，故 xa2对都成立故a2，由此解得a的取值范围【解答】解：（）当a=2时
23、，求不等式f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设y=|2x1|+|2x2|x3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）（）设a1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2对都成立故a2，解得 a，故a的取值范围为（1，18用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在
24、个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和【解答】解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A53个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A41种），十位和百位从余下的数字中选（有A42种），于是有个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个由分
25、类加法计数原理知，共有四位偶数：个（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A54个；个位数上的数字是5的五位数有个故满足条件的五位数的个数共有个（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共个；第二类：形如14，15，共有个；第三类：形如134，135，共有个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个19某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（
26、含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 25周岁以下组 合计附表：P（K2k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828K2=
27、，（其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得22列联表，可得k21.79，由1.792.706，可得结论【解答】解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100=60名，25周岁以下组工人100=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有6
28、00.05=3（人），25周岁以下组工人有400.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有600.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有400.375=15（人），据此可得22列联表如下：生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100所以可得k2=1.79，因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有
29、关”20从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得xi=80， yi=20， xiyi=184， xi2=720（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄【考点】线性回归方程【分析】（1）由题意可知n，进而代入可得b、a值，可得方程；（2）由回归方程x的系数b的正负可判；（3）把x=7代入回归方程求其函数值即可【解答】解：（1）由题意，n=10， =xi=8， =yi=2，b=0.3，a=20.38=0.4，y=0.3x0
30、.4；（2）b=0.30，y与x之间是正相关；（3）x=7时，y=0.370.4=1.7（千元）21将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，（）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；（）在容器 入口处依次放入4个小球，记为落入B袋中的小球个数，求的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设出“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左
31、落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可（II）确定随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出B（4，），运用概率公式求解即可【解答】解：（）记“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P（M）=+=，从而P（N）=1P（M）=1（II）显然，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4且B（4，），故P（=0）=（）0（）4=，P（=1）=（）1（）3=，P（=2）=（）2（）2=，P（=3）=（）3（）1=，P（=4）=（）4（）0=，则的分布列为： 0 1 2 3 4 P故的数学期望为E（）=4=22设a，b均大于0，且+=1求证：对于每个nN*，都有（a+b）n（an+bn）22n2n+1【考点】不等式的证明【分析】运用二元均值不等式可得2，再由二项式定理，化简整理可得（a+b）n（an+bn）=，再由均值不等式即可得证【解答】证明：由a，b均大于0，且+=1，可得知，由二项式定理，得=则原不等式成立2016年8月2日