1、第1页/共16页 学科网（北京）股份有限公司湛江市 2022-2023 学年度第二学期期末高中调研测试高二数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3.作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集0,1,2,4,6,8U=，
2、集合0,4,6,0,1,6MN=，则UMN=（）A.0,2,4,6,8 B.0,1,4,6,8 C.1,2,4,6,8 D.U【答案】A【解析】【分析】由题意可得 U N的值，然后计算UMN即可.【详解】由题意可得2,4,8U N=，则0,2,4,6,8UMN=.故选：A.2.已知,a bR，i 是虚数单位，若2ia+与1ib+互为共轭复数，则b=（）A.1 B.1 C.2 D.2【答案】D【解析】【分析】由共轭复数的概念求解即可.【详解】2ia+与1ib+互为共轭复数，12ab=.故选：D.3.已知 是第二象限角，3sin45+=，则 tan=（）第2页/共16页 学科网（北京）股份有限公司
3、A.34 B.43 C.17 D.7【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的关系和正切函数的两角和公式求解即可【详解】解：是第二象限角，3sin45+=，所以24cos1 sin445+=+=，所以sin34tan44cos4+=+，所以tantan3441tantan 4+=，即 tan131tan4+=，解得 tan7=，故选：D 4.圆台的上下底面半径分别是1,4rR=，且圆台的母线长为 5，则该圆台的体积是（）A.30 B.28 C.25 D.24【答案】B【解析】【分析】利用圆台的体积公式即可求得该圆台的体积.【详解】圆台的上下底面半径分别是1,4rR=，且圆台的母
4、线长为 5，则圆台的高为225(4 1)4=，则该圆台的体积是22(414 1)42813+=故选：B 5.已知()1,2,ay=，(),1,2bx=，且()()2/2abab+，则（）A.13x=，1y=B.12x=，4y=C.2x=，14y=D.1x=，1y=第3页/共16页 学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【分析】求出2ab+和 2ab的坐标，根据空间向量共线的充要条件即可得 x，y 的值.【详解】因为()1,2,ay=，(),1,2bx=，所以()221,4,4abxy+=+，()()()22,4,2,1,22,3,22abyxxy=，因为()()2/2abab+，所以 2
5、1442322xyxy+=，解得：12x=，4y=，故选：B.6.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 则其 25%分位数、中位数与 75%分位数分别为（）A.65，76，82 B.66，74，82 C.66，76，79 D.66，76，82【答案】D【解析】【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.【详解】因为25%225.5=，所以样本数据的 25%分位数为第六个数据即 66；中位数为：7676762+=，因为75%2216.5=，所以样本数据的 75%分位数为第十七个数据即
6、82.故选：D.7.已知2222420 xykxykk+=表示曲线是圆，则k 的值为（）A.()6+，B.)6,+C.(),6 D.(,6【答案】C【解析】【分析】方程配方后得()()2226xkyk+=，根据圆的半径大于 0 求解.【详解】由方程2222420 xykxykk+=可得()()2226xkyk+=，所以当60rk=时表示圆，解得 k6，与图象不符，排除 C.故选：D.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.（多选）对于抛物线上218 xy=，下列描述
7、正确的是（）A.开口向上，焦点为()0,2 B.开口向上，焦点为10,16 C.焦点到准线的距离为 4 D.准线方程为4y=【答案】AC【解析】第5页/共16页 学科网（北京）股份有限公司【分析】写出标准形式即28xy=，即可得到相关结论【详解】由抛物线218 xy=，即28xy=，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为()0,2，焦点到准线的距离为 4，准线方程为=2y 故选：AC 10.下列命题是真命题的有（）A.A，B，M，N 是空间四点，若,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么 A，B，M，N 共面 B.直线 l 的方向向量为()1,1,2a=，直线 m 的方向向量为12,1,2b
8、=，则 l 与 m 垂直 C.直线 l方向向量为()0,1,1a=，平面 的法向量为()1,1,1n=，则 l D.平面 经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,)ABCnu t=是平面 的法向量，则1ut+=【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断 4 个选项即可.【详解】对于 A，若,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，则,BA BM BN 共面，可得 A，B，M，N 共面，A 正确；对于 B，2 1 10a b=，故 ab，可得 l 与 m 垂直，B 正确；对于 C，0 1 10a n=+=，故an，可得 l 在 内或/l，
9、C 错误；对于 D，(1,1,1)AB=，易知nAB，故 10ut+=，故1ut+=，D 正确.故选：ABD.11.有一散点图如图所示，在 5 个(),x y 数据中去掉()3,10D后，下列说法中正确的是（）A.残差平方和变小 的第6页/共16页 学科网（北京）股份有限公司B.相关系数 r 变小 C.决定系数2R 变小 D.解释变量 x 与响应变量 y 的相关性变强【答案】AD【解析】【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况【详解】解：从散点图可分析出，若去掉 D 点，则解释变量 x 与响应变量 y 的线性相关性变强，且是正相关，所以相关系数 r 变大，决定
10、系数2R 变大，残差平方和变小 故选：AD 12.（多选）若函数()yf x=的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称()yf x=为 R 函数，则下列函数可称为 R 函数的有（）A.2()sinf xxx=+B.2()lnf xxx=C.3()e3xxf x=D.cos()exxf x=【答案】BD【解析】【分析】根据导数的几何意义只需判定各选项函数是否存在不同的点的导函数值相等即可.【详解】A 项：因为()2cosfxxx=+，令()()g xfx=，则()2sin0g xx=恒成立，所以()fx在 R 上单调递增，不存在两点的导函数值相等，所以2()sinf xx
11、x=+不是 R 函数，A 错误；B 项：()f x 定义域为()0,+，()2 lnfxxxx=+，令()()g xfx=，所以()2ln3g xx=+，x0.令()0gx，则32ex；令()0gx，则32ex；令()0ln 2h xx，所以()fx在R 上单调递增，不存在两点的导函数值相等，所以3()e3xxf x=不是 R 函数，C 错误；D 项：()2112()sinecose(sincos)sineee4xxxxxfxxxxxx=+，取14x=，23 4x=，则()()120fxfx=，所以cos()exxf x=是 R 函数，D 正确.故选：BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题
12、 5 分，共 20 分.13.612xx的展开式中2x 的系数为_【答案】240【解析】【分析】根据二项展开式的通项1C,0,1,2,.,kn kkknTabkn+=，运算求解.【详解】612xx的展开式的通项为：()()666 21661C212C,0,1,2,.,6kkkkkkkkTxxkx+=令2k=，则()242223612C240Txx=612xx的展开式中2x 的系数为 240 故答案为：240.14.有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为 5%，第二台加工的次品率为 4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一二台车床加工的零件数分别占总数的 40%，60%，从中任取一件
13、产品，则该产品是次品的概率是_.第8页/共16页 学科网（北京）股份有限公司【答案】0.044#11250【解析】【分析】直接由全概率公式求解即可.【详解】该产品是次品的概率是40%5%60%4%0.044+=.故答案为：0.044.15.数列 na中，112,20nnaaa+=+=，若其前 k 项和为 86，则 k=_【答案】7【解析】【分析】由题意可知 na是以12a=为首项，公比为 2 的等比数列，由等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】由112,20nnaaa+=+=可得：1=2nnaa+，所以 na是以12a=为首项，公比为 2 的等比数列，所以其前 k 项和为()2 12861
14、2kkS=+，故()12129k=，即7k=.故答案为：7 16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=经过点3 5,22P，双曲线 C 的离心率为 53，则双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为_【答案】4【解析】【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，利用点到直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点3 5,22P，则 22223 5221ab=，第9页/共16页 学科网（北京）股份有限公司双曲线离心率：53cea=，又222+=abc，联立解得：2229,16,25abc=，所以双曲线标准方程为：221916xy=所以双曲线的一个焦点为()5,0，
15、一条渐近线为 430 xy=，所以双曲线 C 的焦点到其渐近线的距离为：()224 53 0443d =+，故答案为：4.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在 ABC中，6cos3A=，,a b c 分别是角,A B C 所对的边.（1）求 tan 2A；（2）若2 2sin 23B+=，2 2c=，求 ABC的面积.【答案】（1）2 2；（2）2 23.【解析】【分析】（1）因为6cos3A=且23(0,),sin1cos3AAA=，可得：sin2tancos2AAA=，代入正切的倍角公式即可得解；（2）由题意可得：cos2 23B
16、=，所以21sin1cos3BB=，6sinsin()3CAB=+=，由正弦定理，得sin2sincAaC=，代入面积公式即可得解.【详解】（1）因为6cos3A=且23(0,),sin1cos3AAA=，为第10页/共16页 学科网（北京）股份有限公司sin2tancos2AAA=22tantan22 21tanAAA=（2）由2 2sin 23B+=，得cos2 23B=，由(0,)B，所以21sin1cos3BB=，则6sinsin()sincoscossin3CABABAB=+=+=，由正弦定理，得sin2sincAaC=，ABC面积为12 2sin23SacB=.【点睛】本题考查了三
17、角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.18.已知数列 na是公差不为零的等差数列，12a=，且139,a a a 成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）数列 nb满足111 11,2nnnbabb=，求数列 nb的前 n 项和nS.【答案】（1）2nan=；（2）1nnSn=+.【解析】【分析】（1）设 na的公差为d，由等比中项的性质有()2(22)2 28dd+=+可求d，进而写出 na的通项公式；（2）应用累加法求 nb的通项公式，再由裂项相消法求 nb的前n 项和nS.【详解】（1）设
18、数列 na的公差为d，由12a=，2319aa a=有：()2(22)2 28dd+=+，解得2d=或0d=(舍去)2nan=.的第11页/共16页 学科网（北京）股份有限公司（2）1112nnnbb=，()112211111112,21,2 2nnnnnnbbbbbb=，将它们累加得：21112.nnnbb=+21nbnn=+，则()111111 22 3111nnSn nnn=+=+.19.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，90,3,AABD E=分别是,AC BC 上的点，且满足/DEAB.将 CDE沿 DE 折起，得到如图所示的四棱锥 PABED.（1）设平面 ABP 平面 DEPl
19、=，证明：l 平面 ADP；（2）若5,2PADE=，求直线 PD 与平面 PEB 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）33【解析】【分析】（1）由/DEAB 得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到,lDA lDP，证明出线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.【小问 1 详解】,DEAB DE 平面,PAB AB 平面 PAB，DE/平面 PAB.DE 平面 PDE，平面 PDE 平面=PABl，/DEl.由图 DEAC，得,DEDA DEDP，第12页/共16页 学科网（北京）股份有限公司,lDA lDP.,DA DP 平面,ADP D
20、ADPD=，l 平面 ADP；【小问 2 详解】由题意，得2,1DEDPDA=.225,.APDPDADADP=+又,DEDP DEDA，以 D 为坐标原点，,DA DE DP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.则()()()()0,0,0,0,2,0,1,3,0,0,0,2DEBP，()()()0,0,2,0,2,2,1,3,2PDPEPB=.设平面 PBE 的一个法向量为(),nx y z=.则()()()(),1,3,2320,0,2,2220n PBx y zxyznn PEx y zyz=+=，令1z=，得1,1yx=，故()1,1,
21、1n=.设 PD 与平面 PEB 所成角为.()()1,1,10,0,223sincos,.321 1 123n PDn PDn PD=+直线 PD 与平面 PEB 所成角的正弦值为33.20.已知函数()exf xax=+（Ra，e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；第13页/共16页 学科网（北京）股份有限公司（2）求函数()f x 的极值的最大值.【答案】（1）答案见解析 （2）极小值的最大值 1【解析】【分析】（1）先求函数的导数，然后再分类讨论即可；（2）由单调性可知极值，再通过研究单调性求最值.【小问 1 详解】()f x 的定义域为(),+，()exfxa=
22、+，当0a 时，0fx，()f x 在(),+上单调递增.当 a0 时，令()0fx=，得()lnxa=，当()(),lnxa 时，()0fx；当()()ln,xa+时，0fx，()f x 在()(),lna上单调递减，在()()ln,a+上单调递增.综上，当0a 时，()f x 在(),+上单调递增；当 a0 时，()f x 在()(),lna上单调递减，在()()ln,a+上单调递增.【小问 2 详解】由（1）知当0a 时，()f x 无极值；当 a，则()lngxx=，令()0gx=，得1x=，当()0,1x时，()0gx，当()1,x+时，()0gx的左、右焦点分别为1F，2F，点()
23、0,2M是椭圆C 的一个顶点，12F MF是等腰直角三角形（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线 MA，MB 的斜率分别为1k，2k，且128kk+=，证明：直线 AB 过定点【答案】（1）22184xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件确定 a,b 的值，从而可得椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程得到根与系数的关系式，用 A,B 坐标表示128kk+=，结合根与系数的关系式化简，即可求得直线过定点，当斜率不存在时，亦可说明直线过该定点.【小问 1 详解】
24、由题意点()0,2M是椭圆C 的一个顶点，知2b=，因为12F MF是等腰直角三角形，所以2ab=，即2 2a=，所以椭圆C 的标准方程为：22184xy+=【小问 2 详解】若直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykxm=+，由题意知2m 由22184ykxmxy=+=，得()222124280kxkmxm+=，第16页/共16页 学科网（北京）股份有限公司由题意知228(84)0km=+，设()11,A x y，()22,B xy，所以122412kmxxk+=+，21222812mx xk=+，因为128kk+=，所以12121212122222yykxmkxmkkxxxx+=+=+()
25、1221242(2)22828xxkmkmkmx xm+=+=+=，所以42kmkm=+，整理得122mk=，故直线 AB 的方程为122ykxk=+，即122yk x=+，所以直线 AB 过定点1,22 若直线 AB 的斜率不存在，设其方程为0 xx=，()00,A xy，()00,B xy 由题意得0000228yyxx+=，解得012x=，此时直线 AB 的方程为12x=，显然过点1,22 综上，直线 AB 过定点1,22【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，综合性强，计算量大，解答的关键是将已知条件利用()11,A x y，()22,B xy的坐标来表示，结合根与系数的关系进行化简，要特别注意计算的准确性.