1、嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试 高二数学 试题卷 命题： 审题： 满分分 ，时间分钟 2015年11月一选择题（每小题3分）1. 若直线和没有公共点，则与的位置关系是()A相交B平行 C异面 D平行或异面2. 已知平面和直线，则内至少有一条直线与()A平行 B相交 C垂直 D异面3. 正三棱锥的侧棱长和底面边长相等， 如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为 （ ）A900 B600 C450 D3004. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A. B. C. D. 5. 一个四面
2、体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()6. 已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同的动点给出以下四个结论：存在P，Q两点，使BPDQ；存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C都成45的角；若PQ1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；若PQ1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值以上各结论中，正确结论的个数是()A1 B2 C3 D47. 设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一
3、点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）A4个 B.6个 C. 10个 D.14个8. 将3个半径为1的球和一个半径为1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）ABCD二填空题（前三题每空2分，后四题每空3分）9. 已知正方体ABCDA1B1C1D1，若一球内切于该正方体，则正方体的边长与球的半径之比为 ；若一球与该正方体的所有棱相切，则正方体的边长与球的半径之比为 10.在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的表面积之比为 ，它们的体积之比为 .11.四面体各
4、面都是边长为的全等三角形，则该四面体的体积为 ，顶点到底面的距离为 12. 点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角的大小是 13.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，BDAC，则BCAD其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）14如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_15. 球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面
5、上动点，M为B1C1中点，则点P的轨迹周长为 三解答题（第16-19题每题10分，第20题12分）16. 在边长为5的正方形ABCD内以A为圆心画一个扇形，再画一个O，它与BC，CD相切，切点为M，N又与扇形的弧切于K点（如图），把扇形围成圆锥的侧面，O为圆锥的底面，（1）求圆锥的母线长（2）求圆锥的体积17如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD面ABCD，AB=1，SB=（1）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小18. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面AB
6、C平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值19. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由 20. 如图，在长方体中，且（1）求证：对任意，总有；（2）若，求二面角的余弦值；（3）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试 高二数学 参考答案及评分
7、标准 命题人： 审核人 一 选择题DCCB ACCA二填空题9.2:1， 10.1:4,1:9 11. 2， 12. 60 13. 14. 1 15. 三解答题16.（1） （2）（1）设扇形半径为l，即AEAFAKl，圆O的半径为R，即OMONOKR，则OCR，由题知A，K，O，C共线，于是AKKOOC（5）52即l（1）R52为使扇形和O能围成一个圆锥，则圆周长等于扇形弧长，即2Rl，即l4R故R（6分）（2）圆锥的高h，圆锥体积VR2h（10分）17. （1）解：取AB中点P，连接MP，DP在ABS中，由中位线定理得MPSB，DMP或其补角为所求，又，在DMP中，有DP2=MP2+DM2
8、，DMP=90，即异面直线DM与SB所成的角为90（5分）（2）解：SD底面ABCD，且ABCD为正方形，可把四棱锥SABCD补形为长方体A1B1C1SABCD，如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBC，BCA1S，SCA1S，又SDA1S，CSD为所求二面角的平面角在RtSCB中，由勾股定理得SC=，在RtSDC中，由勾股定理得SD=1CSD=45即面ASD与面BSC所成的二面角为45 （10分）18. (1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以
9、OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.（4分）(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.（10分）19（I）因为平面ABCD，平
10、面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（3分）（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（7分）（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中）则，由得(1)由得，（2）由（1）、（2）消去t，化简得（3）
11、由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。（10分）20. 解：（I）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设AB=1，则可得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2），P（0，1，2-2）， 可得=0，即对任意01，总有APBD；（4分）（II）由（I）及，得，设平面AB1P的一个法向量为可得，解之得平面AB1P的一个法向量为，又平面ABB1的一个法向量为，设二面角P-AB1-B的大小为，可得因此可得二面角P-AB1-B的余弦值为（8分）（III）假设存在实数（01）满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即，约去有，解得所以存在满足题意的实数=，使得AP在平面B1AC上的射影平分B1AC（12分）