1、第二章 函数、导数及其应用考点测试8 二次函数与幂函数第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 5 分，中等难度考纲研读1.了解幂函数的概念2结合函数 yx，yx2，yx3，yx1，y的图象，了解它们的变化情况3理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题第1步狂刷小题 基础练解 析 因 为在 第 一 象 限 内 是 增 函 数，所 以a，因为 y12x 是减函数，所以 a，所以 bac.答案解析一、基础小题1若，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcabCbcaDbac解析 由 a，b，c 成等比数列且 f(0)
2、4，得c4，b2ac.显然 a0，故 f(x)有最大值，最大值为4acb24a4acac4a3c4 3，故选 D.答案解析2在函数 f(x)ax2bxc 中，若 a，b，c 成等比数列，且 f(0)4，则 f(x)()A有最小值4 B有最大值4C有最小值3 D有最大值3解析 由题意知，函数的对称轴为直线 xx1x221，所以 fx1x22f(1)m1.故选 C.答案解析3已知函数 f(x)x22xm，若 f(x1)f(x2)(x1x2)，则 fx1x22的值为()A1 B2 Cm1 Dm4.幂函数 yx1，yxm 与 yxn 在第一象限内的图象如图所示，则 m与 n 的取值情况为()A1m0n
3、1B1n0mC1m0nD1n0m1答案解析 在第一象限作出幂函数 yx，yx0 的图象，在(0,1)内作直线 xx0 与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知1n0m1，解得 b2.故选 C.答案解析5若函数 f(x)x22x2 的定义域和值域都是1，b，则实数 b()A3 B2 或 3 C2 D1 或 2解析 二次函数 ykx24x2 的对称轴为直线 x2k，当 k0 时，要使ykx24x2 在区间1,2上是增函数，只需2k1，解得 k2.当 k0 时，2k0)，由 f(x)0，解得 x2 或 x0 的解集是()A(4,2)B(2,4)C(，4)(2，)D(，2)(4，)解析 因为 f(x
4、)2x0 的解集为(1,3)，设 f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0得 ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根，所以(24a)24a9a0，解得 a1 或 a15.由于 a2x 的解集为(1,3)若方程 f(x)6a0 有两个相等的根，则实数 a()A15B1C1 或15D1 或15解析 幂函数 f(x)xm22m3(mZ)的图象关于 y 轴对称，f(x)为偶函数，又幂函数 f(x)xm22m3(mZ)在区间(0，)上单调递增，m22m3 是偶数，且m22m30，mZ，m1，幂函数 f(x)x4，
5、f(2)16.故选 A.答案解析10已知幂函数 f(x)xm22m3(mZ)在区间(0，)上单调递增，且 f(x)的图象关于 y 轴对称，则 f(2)的值为()A16 B8 C16 D8答案 3,0解析 当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上单调递减，满足条件当a0 时，f(x)的对称轴为直线 x3a2a，由 f(x)在1，)上单调递减，知a0，3a2a 1，解得3a0.综上，实数 a 的取值范围为3,0答案解析11函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上单调递减，则实数a 的取值范围是_答案 x24x3解析 因为 f(2x)f(2x)对 xR 恒成立，所以 f(x)的图象关于直线x
6、2 对称又因为 yf(x)的图象在 x 轴上截得的线段长为 2，所以 f(x)0的两根为 2221 或 2223.所以二次函数 f(x)的图象与 x 轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0)因此设 f(x)a(x1)(x3)又点(4,3)在 yf(x)的图象上，所以 3a3，则 a1.故 f(x)(x1)(x3)x24x3.答案解析12已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)_.二、高考小题13(2019北京高考)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()答案解析，y1x的图象如图所示由图象知，只有
7、 y在(0，)上单调递增故选 A.解析答案14(2019全国卷)设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且当 x(0,1时，f(x)x(x1)若对任意 x(，m，都有 f(x)89，则m 的取值范围是()A.，94B，73C.，52D，83解析 当 x(0,1时，f(x)x(x1)，当 x(0,1时，f(x)14，0.f(x1)2f(x)，当 x(1,0时，x1(0,1，f(x)12f(x1)12(x1)x，f(x)18，0；当 x(2，1时，x1(1,0，f(x)12f(x1)14f(x2)14(x2)(x1)，f(x)116，0；解析当 x(1,2时，x1(0,1，f(
8、x)2f(x1)2(x1)(x2)，f(x)12，0；当 x(2,3时，x1(1,2，f(x)2f(x1)4f(x2)4(x2)(x3)，f(x)1,0；.f(x)的图象如图所示解析若对任意 x(，m，都有 f(x)89，则有 2m3.设 f(m)89，则 4(m2)(m3)89，m73或 m83.结合图象可知，当 m73时，符合题意故选 B.解析答案15(2017浙江高考)若函数 f(x)x2axb 在区间0,1上的最大值是M，最小值是 m，则 Mm()A与 a 有关，且与 b 有关B与 a 有关，但与 b 无关C与 a 无关，且与 b 无关D与 a 无关，但与 b 有关解析 解法一：设 x
9、1，x2 分别是函数 f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则 mx21ax1b，Mx22ax2b.Mmx22x21a(x2x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关故选 B.解法二：由题意可知，函数 f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着 b 的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若 b 增大 k 个单位，则最大值与最小值分别变为 Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与 b 无关随着 a 的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则 Mm 的值在变化，故与 a 有关故选 B.解析解析 因为，函数 y在(0，)上单调递增，所以，即 ac，又因为函数 y4x 在
10、R 上单调递增，所以，即 ba，所以 bac.故选 A.答案解析16(2016全国卷)已知，则()AbacBabcCbcaDcab答案 1解析 幂函数 f(x)x 为奇函数，可取1,1,3，又 f(x)x 在(0，)上递减，f(4)，所以 f(x)在(2，)上为减函数，所以开口向下，af(4)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Da0，即 m35，所以 m1.故选 B.答案解析21(2019福州外国语学校模拟)已知 f(x)(m2m1)x5m3 是幂函数，且 f(x)在(0，)上递增，则 m 的值为()A2 B1C1 或 2 D0答案22(2019丰台期末)已知函数 f(x)x2axb
11、 的图象过坐标原点，且满足 f(x)f(1x)，则函数 f(x)在1,3上的值域为()A0,12 B14，12C.12，12D34，12解析 因为函数 f(x)x2axb 的图象过坐标原点，所以 f(0)0，所以 b0.因为 f(x)f(1x)，所以函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x12，所以 a1，所以 f(x)x2xx12214，所以函数 f(x)在1，12 上递减，在12，3 上递增，故当 x12时，函数 f(x)取得最小值，且为14.又 f(1)0，f(3)12，故函数 f(x)在1,3上的值域为14，12，故选 B.解析答案23(2020广西南宁高三模拟)已知函数 f(x)x22
12、x1，x0，x22x1，x0，则对任意 x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0解析 函数 f(x)的图象如图所示，且 f(x)f(x)，从而 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数又 0|x1|f(x1)，即 f(x1)f(x2)0，bR，cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)fx，x0，fx，x0，x12，x0.故 F(2)F(2)(21)2(21)28.解(2)由题意得 f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1 在(0,1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(
13、0,1上恒成立又当 x(0,1时，1xx 的最小值为 0，1xx 的最大值为2，所以2b0.故 b 的取值范围是2,0解解(1)依题意得，(m1)21m0 或 m2，当 m2 时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0.解2(2019广东潮汕模拟)已知幂函数 f(x)(m1)2在(0，)上单调递增，函数 g(x)2xk.(1)求 m 的值；(2)当 x1,2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p：xA，q：xB，若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围(2)由(1)得，f(x)x2，当 x1,2)时，f(x)1,4)，即 A1,4)，当 x
14、1,2)时，g(x)2k,4k)，即 B2k,4k)，由于 p 是 q 成立的必要条件，则 BA，则2k1，4k4，即k1，k0，得 0k1.解解(1)由 164(a3)0，得 a1.故实数 a 的取值范围是(，1(2)f(x)(x2)2a1.当 a12，即 a1 时，f(x)maxf(a)a23a33，解得 a0 或 a3(舍去)；当 1a32时，f(x)maxf(a)3，解3(2020宁夏育才中学月考)已知函数 f(x)x24xa3，aR.(1)若函数 f(x)在(，)上至少有一个零点，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在a，a1上的最大值为 3，求 a 的值解得 a0 或 a
15、3(均舍去)；当322 时，f(x)maxf(a1)a2a3，解得 a1 132或 a1 132(舍去)综上，a0 或 a1 132.解4(2019安徽合肥模拟)已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR 且a0)，xR.(1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk 在区间3，1上恒成立，试求实数 k的取值范围解(1)由题意知a0，b2a1，f1ab10，解得a1，b2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1解(2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间3，1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)ming(1)1，所以 k1，故实数 k 的取值范围是(，1)解本课结束