1、单元综合测试二(第二章)时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1与椭圆1共焦点且过点(5，2)的双曲线的标准方程是(A)A.y21 Bx21C.1 D.1解析：双曲线与椭圆1共焦点，双曲线中c26，即a2b26，故设双曲线方程为1，把点(5，2)代入双曲线方程得a25，故所求双曲线的方程为y21.2“1m3”是“方程1表示椭圆”的(B)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当方程1表示椭圆时，必有所以1m3；但当1m0，b0)的离心离为，则双曲线的渐近线方程为(B)AyxByxCy2xDyx解析：由题意得双曲线的
2、离心率e，故，故双曲线的渐近线方程为yxx.4若双曲线C：x21(b0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e(B)A2 B.C3 D.解析：由双曲线方程知a1，c，一条渐近线方程为ybx，即bxy0.，解得b1，c，e.5若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析：设M(2,0)，由题设可知，把直线x1向左平移一个单位即为直线x2，则点P到直线x2的距离等于|PM|，所以动点P的轨迹为抛物线，故选D.6已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为xy0，则双曲线的方程为(D)Ax2y250Bx2y224Cx2y25
3、0Dx2y224解析：因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，4)，(0,4)又双曲线的一条渐近线方程为xy0，所以可设双曲线方程为y2x2(0)，则248，24，故所求双曲线的方程为y2x224，即x2y224.7已知动圆M过定点B(4,0)，且和定圆(x4)2y216相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(C)A.1(x0)B.1(x0)C.1D.1解析：设动圆M的半径为r，依题意有|MB|r，另设A(4,0)，则有|MA|r4，即|MA|MB|4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又40)与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的交点
4、(异于原点)，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于(C)A.B2C.D4解析：点A到抛物线C1的准线的距离为p，A适合yx，4，e.11如图所示，已知O为坐标原点，F是双曲线C：1(a0，b0)的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q，连接PB交y轴于点E，连接EA并延长交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为(C)A2 B.C3 D.解析：根据图形可知，|PF|QF|，BOEBFP，所以，|OE|.又由图形知AOEAFM，所以，即，整理得c3a，所以双曲线的离心率为e3.12已知椭圆C：1的右焦点为F，过点F的两条互相垂直
5、的直线l1，l2，l1与椭圆C相交于点A，B，l2与椭圆C相交于点C，D，则下列叙述不正确的是(D)A存在直线l1，l2使得|AB|CD|的值为7B存在直线l1，l2使得|AB|CD|的值为C弦长|AB|存在最大值，且最大值为4D弦长|AB|不存在最小值解析：当直线l1，l2一个斜率为零一个斜率不存在时，则|AB|CD|7，故A是正确的；当直线l1，l2的斜率都存在时，不妨令直线l1的斜率为k(k0)，由题意知l1的直线方程为yk(x1)，联立得消去y得(34k2)x28k2x4k2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理知x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|，同理|CD
6、|，特别地，当k21时，|AB|CD|，即|AB|CD|，故B正确；由于|AB|3，故当k0时，|AB|取到最大值4，故C正确；由于|AB|33，但当弦AB的斜率不存在时，|AB|3，故|AB|存在最小值3，故D选项不正确第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13双曲线1的离心率为，则m等于9.解析：m9.14设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则PF1F2的面积为.解析：由题意知|F1F2|24，设P点坐标为(x，y)由得则SPF1F2|F1F2|y|4.15设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|
7、PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为.解析：依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2a.而|F1F2|2c，所以在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，所以4a216a24c224a2ccos30，即3a22acc20，所以ac0，故双曲线C的离心率为.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)求与椭圆1有公共焦点，并且
8、离心率为的双曲线方程解：由椭圆方程1，知长半轴a13，短半轴b12，焦距的一半c1，焦点是F1(，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(，0)，F2(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为y21.18(12分)已知点A(，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线yx2交于D，E两点，求线段DE的长解：设点C(x，y)，则|CA|CB|2.根据双曲线定义，可知点C的轨迹为双曲线，设其方程为1(a0，b0)，由2a2,2c|AB|2，得a1，c，则b22，故点C的轨迹方程为x21.由得x24x60，0
9、，直线与双曲线有两个交点，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1x24，x1x26，故|DE|x1x2|4.19(12分)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且过点(2，)(1)求双曲线C的标准方程和焦点坐标；(2)已知点P在双曲线C上，且F1PF290，求点P到x轴的距离解：(1)e212，a2b2.双曲线C方程为：1.又该双曲线过点(2，)，将点(2，)代入1得a21.双曲线C的方程为x2y21，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)(2)由已知得|F1P|F2P|2.点P到x轴的距离为.20(12分)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)
10、求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可以设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x .由2，得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.21(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1
11、)求证k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0，求证2|.证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.又1，m，所以k.由题意得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(1)求t，p的值(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且5(其中O为坐标原点)求证直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值解：(1)由已知得34，p2，抛物线的方程为y24x，代入点T坐标可解得t2.(2)设直线AB的方程为xmyn，A，B.由得y24my4n0，则y1y24m，y1y24n.由5，得y1y25，y1y220或y1y24(舍去)即4n20，n5，直线AB过定点(5,0)由得|AB|y2y1|，同理得|CD|，则四边形ACBD的面积S|AB|CD|8，令m2(2)，则S8，是关于的增函数，故Smin96.当且仅当m1时取到最小值96.