1、第二章 函数、导数及其应用考点测试7 函数的奇偶性与周期性第一部分 考点通关练高考概览本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值 5 分，中等难度考纲研读1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性第1步狂刷小题 基础练解析 因为 f(x1)是奇函数，所以 f(x1)f(x1)，即 f(x)f(x2)又因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x2)f(x4)，故 f(x)的周期为 4，所以 f(8.5)f(0.5)9.故选 B.答案解析一、基础小题1函数 f(x)的定义域为 R，且满
2、足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数，若 f(0.5)9，则 f(8.5)等于()A9 B9 C3 D0解析 因为函数 f(x)log21xx0，且 f(x)是奇函数，所以 f(3)f(3)，所以 log2(13)g(3)1，则 g(3)3.故选 C.答案解析2设函数 f(x)log21xx0，若 f(x)是奇函数，则 g(3)的值是()A1 B3 C3 D1解析 当 x0 时，x1212，所以 fx1212 fx1212，即 f(x1)f(x)，所以 f(6)f(5)f(4)f(1)f(1)2.答案解析3已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x12时，fx12 fx12，则 f(6)()
3、A2 B1 C0 D2解析 由 g(x)f(x)2x2，得 g(x)f(x)2x2，两式相加，可得 g(x)g(x)2，故 g(x)的图象关于(0,1)对称，其最高点、最低点也关于(0,1)对称，所以 Mm2，故选 B.答案解析4已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)4x22，设 g(x)f(x)2x2，若 g(x)的最大值和最小值分别为 M 和 m，则 Mm()A1 B2 C3 D4答案5已知函数 f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)x2x，则当 x0 时，函数f(x)的最大值为()A14B14C12D12解析 解法一：设 x0，所以 f(x)x2x，又函数 f(x)为
4、奇函数，所以 f(x)f(x)x2xx12214，所以当 x0 时，f(x)x2xx12214，最小值为14，因为函数f(x)为奇函数，所以当 x0 时，函数 f(x)的最大值为14.故选 B.解析解析 当 0 x2 时，令 f(x)x3xx(x21)0，所以 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x10，x21.当 2x4 时，0 x22，又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x)(x2)3(x2)(x2)(x1)(x3)，所以当 2x4 时，f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x32，x43.同理可得，当 4x6 时，f(x)的图象与 x 轴交
5、点的横坐标分别为 x54，x65.当 x76 时，也符合要求综上可知，共有 7 个交点答案解析6已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为()A6 B7 C8 D9解析 因为 f(x)g(x)ex，所以 f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)12(exex)故选 D.答案解析7若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)g(x)ex，则 g(x)()AexexB12(exex)CexexD12(exex)答案8已知偶函数 fx2，当 x2，2 时，f(x
6、)x13sinx，设 af(1)，bf(2)，cf(3)，则()AabcBbcaCcbaDcab解析 当 x2，2 时，ysinx 为增函数，yx13也为增函数，函数 f(x)x13sinx 在2，2 上也为增函数函数 fx2 为偶函数，fx2 fx2，f(x)的图象关于直线 x2对称，f(2)f(2)，f(3)f(3)，03122，f(3)f(1)f(2)，即 cab，故选 D.解析解析 因为函数 f(x)为偶函数，且在(，0上是增函数，所以函数 f(x)在0，)上是减函数，则不等式 f(a)f(x)对任意 x1,2恒成立等价于f(a)f(x)maxf(1)，所以|a|1，解得1a1，即实数
7、 a 的取值范围为1,1，故选 B.答案解析9已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0上是增函数，若不等式 f(a)f(x)对任意 x1,2恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，1 B1,1C(，2 D2,2解析 因为奇函数 f(x)在区间0,2上是增函数，所以 f(x)在区间2,0上是增函数又因为函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，所以 f(x8)f(x4)f(x)，所以函数 f(x)为周期函数，且周期为 8，因此 f(25)f(1)f(0)f(80)f(11)f(3)f(1)f(1)故选 D.答案解析10已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，
8、且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案 1解析 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)0 恒成立，所以xln(x ax2)xln(xax2)0 恒成立，所以 xln a0 恒成立，所以 ln a0，即实数 a1.答案解析11若 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则实数 a_.答案 12，1答案12设定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若 f(1m)f(m)0，则实数 m 的取值范围为_解析 f(x)的定义域是2,2，21m2，2m2，即2
9、m1，又 f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在0,2上单调递减，f(x)在2,0上也单调递减，f(x)在2,2上单调递减，又 f(1m)f(m)0，即 f(1m)f(m)f(m)，1mm，即 m12，由可知12m1.解析解析 因为 f(x)是定义域为(，)的奇函数，且 f(1x)f(1x)，所以 f(1x)f(x1)，所以 f(3x)f(x1)f(x1)，所以 T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为 f(2)f(2)f(2)，所以 f(2)0，从而
10、 f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，故选 C.答案解析二、高考小题13(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0 C2 D50解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1)又 f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选 D.答案解析14(2017全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2,2 B1,1C0,4 D1,3解
11、析 依 题 意a g(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1)因为奇函数 f(x)在 R 上是增函数，可设 0 x1x2，则 0f(0)f(x1)f(x2)从而 x1f(x1)x2f(x2)，即 g(x1)g(x2)所以 g(x)在(0，)上也为增函数又 log25.10,20.80,30，且 log25.1log283,20.8213，而 20.821log24log25.1，所以 020.8log25.13，所以 ba0，则x0.当 x0 时，f(x)eax，f(x)eax.f(x)是奇函数，f(x)f(x)eax，f(l
12、n 2)ealn 2(eln 2)a2a.又 f(ln 2)8，2a8，a3.答案解析16(2019全国卷)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)eax，若f(ln 2)8，则 a_.答案 13，24答案17(2019江苏高考)设 f(x)，g(x)是定义在 R 上的两个周期函数，f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f(x)是奇函数当 x(0,2时，f(x)1x12，g(x)kx2，0 x1，12，10.若在区间(0,9上，关于x 的方程 f(x)g(x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是_解析 当 x(0,2时，yf(x)1x12(x1)2y21(y0)，结合
13、 f(x)是周期为 4 的奇函数，可作出 f(x)在(0,9上的图象如图所示当 x(1,2时，g(x)12，又 g(x)的周期为 2，当 x(3,4(5,6(7,8时，g(x)12.由图可知，当 x(1,2(3,4(5,6(7,8时，f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，解析当 x(0,1(2,3(4,5(6,7(8,9时，f(x)与 g(x)的图象有 6 个交点又当 x(0,1时，yg(x)k(x2)(k0)恒过定点 A(2,0)，由图可知，当 x(2,3(6,7时，f(x)与 g(x)的图象无交点，当 x(0,1(4,5(8,9时，f(x)与 g(x)的图象有 6 个交点由 f(x)与
14、 g(x)的周期性可知，当 x(0,1时，f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点解析当 yk(x2)与圆弧(x1)2y21(0 x1)相切时，d|3k|k211k218(k0)k 24.当 yk(x2)过点 A(2,0)与 B(1,1)时，k13.13k 24.解析解析 根据题意，知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(3)f(3)，f(log313)f(log313)，因为 20.62log313log3273，f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(20.6)f(log313)f(3)故选 C.答案解析三、模拟小题18(2019安徽省江淮十校第一次联考)已知函数 f(x)是定义
15、在 R 上的偶函数，且在(0，)上单调递增，则()Af(3)f(log313)f(20.6)Bf(3)f(20.6)f(log313)Cf(20.6)f(log313)f(3)Df(20.6)f(3)f(log313)解析 因为偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，所以函数 f(x)的周期为 2.所以af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)，cf(0.5)f(0.5)因为0.80.5cb，故选D.答案解析19(2019四川达州模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在1,0上单调递减，设 af(2.8)，bf(1.6)，cf(0.5)，则
16、 a，b，c 的大小关系是()AabcBcabCbcaDacb解析 因为 f(x)是 R 上的偶函数，又因为函数 f(x)在区间(，0上为减函数且 f(2m)f(2)，所以 2m2 或 2m1 或 mf(2)，则实数 m 的取值范围是()A(，1)B(1,1)C(1，)D(，1)(1，)解析 f(x)f(x)0，f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)2m2x 1，由 f(0)2m110，得 m1，当 x0 时，f(x)12x1，f(1)f(1)121 12.故选 C.答案解析21(2019四川省乐山市高三第一次调查)已知函数 f(x)满足：f(x)f(x)0，且当 x0 时，f(x)2m2
17、x 1，则 f(1)()A.32B32C12D12答案22(2019泉州市普通高中毕业班质检)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)2xcosx，则下列结论正确的是()Af20203f20192f(2018)Bf(2018)f20203f20192Cf(2018)f20192f20203Df20192f20203f(2018)解析 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，从而得 f(x)的周期为 4.所以 f(2018)f(2)f(0)，f20192f32 f12，f20203f43 f23，又因为
18、f(x)在0,1上单调递增，所以 f(0)f12 f23，即f(2018)f20192f20203.故选 C.解析答案23(2020湖北黄冈高三摸底)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线 x1 对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)答案 解析 因为 f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立，令 xy0，所以 f(0)0.令 xy0，所以 yx，所以 f(0)f(x)f(x)所以 f(
19、x)f(x)，所以 f(x)为奇函数因为 f(x)在1,0上为增函数，且 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0,1上为增函数f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期 T4，即 f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为 f(x)为奇函数，所以 f(2x)f(x)，所以函数 f(x)的图象关于直线x1 对称因为 f(x)在0,1上为增函数，又关于直线 x1 对称，所以 f(x)在1,2上为减函数由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)解析第2步精做大题 能力练一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2019北京
20、东城区模拟)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2x23；(2)f(x)lg 1x2|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.解(1)由3x20，x230，得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3，3，从而 f(x)3x2x230.因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由1x20，|x2|2，得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x)lg 1x2x.解又 f(x)lg 1x2xlg 1x2xf(x)，f(x)为奇函数(3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当 x0，则 f(x)(x
21、)2xx2xf(x)；当 x0 时，x0，且 a1)(1)求函数 f(x)g(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)g(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使 f(x)g(x)0，1x0，1x1，所求定义域为x|1x1(2)f(x)g(x)为奇函数证明如下：令 H(x)f(x)g(x)，则 H(x)loga(x1)loga(1x)logax11x，H(x)logax11x logax11xH(x)，H(x)f(x)g(x)为奇函数解(3)f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)loga(1x2)1 时，01x21，0 x1 或1x0.当 0a1，不等式无解，综上，当 a1 时，使 f(x
22、)g(x)0 成立的 x 的集合为x|0 x1 或1x0解解(1)由 f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)，得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)解3(2019山东枣庄高三阶段考试)设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积从而可知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0
23、x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示设当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB41221 4.解4(2019河南商丘市模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x 都有 f32x f32x 恒成立(1)证明 f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值；(3)若 g(x)x2ax3，且 y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值解(1)由 f32x f32x，且 f(x)f(x)，知 f(3x)f3232xf3232xf(x)f(x)，所以 f(x)是周期函数，且 T3 是其一个周期解(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，且 f(1)f(1)2，又因为 T3 是 f(x)的一个周期，所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为 y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故 g(x)x2ax3 为偶函数，即 g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3 恒成立于是 2ax0 恒成立，所以实数 a0.解本课结束
