1、模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知aR，则“a2”是“a22a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Ba22aa(a2)00a2“a2”是“a22a”的必要不充分条件2已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则p为()Ax00，使得(x01)ex01Bx00，使得(x01)ex01Cx0，总有(x1)ex01Dx0，总有(x1)ex01B命题p为全称命题，所以p为x00，使得(x01)ex01故选B3若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离
2、心率为()A B C DB由题意，1，而双曲线的离心率e211，e4已知空间向量a(t,1，t)，b(t2，t,1)，则|ab|的最小值为()A B C2 D4C|ab|2，故选C5椭圆1与椭圆1有()A相同短轴 B相同长轴C相同离心率 D以上都不对D对于1，有a29或a2b0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为()A BC DC由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则斜率k(1e)，故选C11若F1，F2为双曲线C：y21的左、右焦点，点P在双曲线C上，F1PF260，则点P到x轴的距离为()A BC DB设|
3、PF1|r1，|PF2|r2，点P到x轴的距离为|yP|，则Sr1r2sin 60r1r2，又4c2rr2r1r2cos 60(r1r2)22r1r2r1r24a2r1r2，得r1r24c24a24b24，所以Sr1r2sin 602c|yP|yP|，得|yP|，故选B12抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是()A BC DC如图设|AF|r1，|BF|r2，则|MN|在AFB中，因为|AF|r1，|BF|r2且AFB，所以由余弦定理，得|AB|，所以，当且仅当r1r2时取等号故选C二、填空题(本
4、大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是_(填序号)2240，即APAB，正确；440，即APAD，正确；由可得是平面ABCD的法向量，正确；由可得，错误14已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_1由已知得2，所以b2a在y2x10中令y0得x5，故c5，从而a2b25a2c225，所以a25，b220，所以双曲线的方程为115在平面直
5、角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C的方程为_y21由e，得c2a2，所以b2a2c2a2，设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则1，所以x2a2a23y2|PQ|，当y1时，|PQ|有最大值由3，可得a23，所以b21，故椭圆C的方程为y2116四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值为_如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,
6、0)，则重心G，因此(0,0,1)，所以sin |cos，|三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设集合Ax|x23x20，Bx|ax1“xB”是“xA”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合解Ax|x23x201,2，由于“xB”是“xA”的充分不必要条件，BA当B时，得a0；当B时，由题意得B1或B2则当B1时，得a1；当B2时，得a综上所述，实数a组成的集合是18(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：
7、0解(1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2y2，又双曲线过点(4，)，代入解得6，故双曲线的方程为x2y26(2)证明：由双曲线的方程为x2y26，可得ab，c2，所以F1(2，0)，F2(2，0)由点M(3，m)，得(23，m)，(23，m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9m26，解得m23，所以m23019(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值解 (1
8、)证明：取CD的中点E，连接BE，如图ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD又BEAD，CDADAA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD又AA1ADA，CD平面ADD1A1(2)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与
9、平面AB1C所成的角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为120(本小题满分12分)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点(1)用p表示|AB|；(2)若3，求这个抛物线的方程解(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为yx设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x23px0，x1x23p，x1x2，|AB|x1x2p4p(2)由(1)知，x1x2，x1x23p，y1y2x1x2(x1x2)p2，x1x2y1y2p23，解得p24，p2这个抛物线的方程为y24x21(本小题满分12分)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边
10、长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由解(1)证明：PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD又PACD，ADCDD，PA平面ABCD(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，E，(1,1,0)，设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(1,1，2)假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，使得BF平面A
11、EC，则n0又(0,1,0)(，)(，1，)，n120，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点22(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解(1)BF2，而BFOB2OFb2c22a2，点C在椭圆上，C，1，b21，椭圆的方程为y21(2)直线BF2的方程为1，与椭圆方程1联立方程组，解得A点坐标为，则C点的坐标为，又F1为(c,0)，kF1C，又kAB，由F1CAB，得1，即b43a2c2c4，所以(a2c2)23a2c2c4，化简得e
