1、等腰三角形 一、选择题 1（2018山东枣庄3 分）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论【解答】解：如图所示，使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3，故选：B 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键 2（2018山东枣庄3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于
2、点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（）A B C D【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：过点 F 作 FGAB 于点 G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF 平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF 平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，=，AC=3，AB=5，ACB=90，BC
3、=4，=，FC=FG，=，解得：FC=，即 CE 的长为 故选：A 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE 3.（2018山东淄博4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C的距离分别为 3，4，5，则ABC 的面积为（）A B C D【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理【分析】将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA，根据旋转的性质得 BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，则BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=
4、4，BPE=60，在AEP 中，AE=5，延长 BP，作 AFBP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到APE 为直角三角形，且APE=90，即可得到APB 的度数，在直角APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积【解答】解：ABC 为等边三角形，BA=BC，可将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得BEA，连 EP，且延长 BP，作 AFBP 于点 F如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE 为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP 中，AE=5，AP=3，PE
5、=4，AE2=PE2+PA2，APE 为直角三角形，且APE=90，APB=90+60=150 APF=30，在直角APF 中，AF=AP=，PF=AP=在直角ABF 中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12 则ABC 的面积是AB2=（25+12）=故选：A【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 4.（2018江苏扬州3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 RtABC 和等腰 RtADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P
6、，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（）A B C D【分析】（1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD 即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE BAC=EAD BAE=CAD BAECAD 所以正确 BAECAD BEA=CDA PME=AMD PMEAMD MPMD=MAME 所以正确 BEA=CDA PME=AMD P、E、D、A 四点共圆 APD=EAD=90 CAE=180BACEAD=90 CAPCMA AC
7、2=CPCM AC=AB 2CB2=CPCM 所以正确 故选：A【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案 5（2018湖南省常德3 分）如图，已知 BD 是ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线，BAC=90，AD=3，则 CE 的长为（）A6 B5 C4 D3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出C=DBC=ABD=30，根据直角三角形的性质解答【解答】解：ED 是 BC 的垂直平分线，DB=DC，C=DBC，BD 是ABC 的角平分线，ABD=DBC
8、，C=DBC=ABD=30，BD=2AD=6，CE=CDcosC=3，故选：D【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键 6.（2018台湾分）如图，锐角三角形 ABC 中，BCABAC，甲、乙两人想找一点 P，使得BPC 与A 互补，其作法分别如下：（甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A两人皆正确 B两人皆错误
9、C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：APC=ACP，由平角的定义可知：BPC+APC=180，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：BPC+A=180【解答】解：甲：如图 1，AC=AP，APC=ACP，BPC+APC=180 BPC+ACP=180，甲错误；乙：如图 2，ABPB，ACPC，ABP=ACP=90，BPC+A=180，乙正确，故选：D 【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键 7（2018湖北荆门3 分）如图，等腰 RtABC 中，斜边 AB 的长为 2，O
10、为 AB 的中点，P为 AC 边上的动点，OQOP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M所经过的路线长为（）A B C1 D2【分析】连接 OC，作 PEAB 于 E，MHAB 于 H，QFAB 于 F，如图，利用等腰直角三角形的性质得 AC=BC=，A=B=45，OCAB，OC=OA=OB=1，OCB=45，再证明 RtAOPCOQ 得到 AP=CQ，接着利用APE 和BFQ 都为等腰直角三角形得到 PE=AP=CQ，QF=BQ，所以 PE+QF=BC=1，然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 MH=，即可判定点 M 到 AB 的距
11、离为，从而得到点 M 的运动路线为ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点 M 所经过的路线长【解答】解：连接 OC，作 PEAB 于 E，MHAB 于 H，QFAB 于 F，如图，ACB 为到等腰直角三角形，AC=BC=AB=，A=B=45，O 为 AB 的中点，OCAB，OC 平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，COA=90，AOP=COQ，在 RtAOP 和COQ 中，RtAOPCOQ，AP=CQ，易得APE 和BFQ 都为等腰直角三角形，PE=AP=CQ，QF=BQ，PE+QF=（CQ+BQ）=BC=1，M 点为 PQ 的中点，MH 为梯形 PEFQ
12、的中位线，MH=（PE+QF）=，即点 M 到 AB 的距离为，而 CO=1，点 M 的运动路线为ABC 的中位线，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长=AB=1 故选：C 【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质 8.（2018河北3 分）已知：如图 4，点 P 在线段 AB 外，且 PAPB.求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A作APB的平分线 PC 交 AB 于点C B过点 P 作 PCAB于点C 且 ACBC C.取 AB 中点C，连接
13、 PC D过点 P 作 PCAB，垂足为C 9.(2018 四川省绵阳市)如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上，若 AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】D 【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形 【解析】【解答】解：连接 BD，作 CHDE，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90,ADC=CAB=45,即ACD+DCB=ACD+ACE=90，DCB=ACE，在DCB 和ECA 中，,DCBECA，DB=EA=
14、,CDB=E=45,CDB+ADC=ADB=90，在 RtABD 中，AB=2，在 RtABC 中，2AC2=AB2=8，AC=BC=2，在 RtECD 中，2CD2=DE2=，CD=CE=+1，ACO=DCA，CAO=CDA，CAOCDA，：=4-2，又=CE=DECH，CH=，=ADCH=，=（4-2）=3-.即两个三角形重叠部分的面积为 3-.故答案为：D.【分析】解：连接 BD，作 CHDE，根据等腰直角三角形的性质可得ACB=ECD=90,ADC=CAB=45,再由同角的余角相等可得DCB=ACE；由 SAS 得DCBECA，根据全等三角形的性质知 DB=EA=,CDB=E=45,从
15、而得ADB=90，在 RtABD 中，根据勾股定理得 AB=2，同理可得 AC=BC=2，CD=CE=+1；由相似三角形的判定得CAOCDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.二.填空题 1（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则CDF 周长的最小值为 18 【分析】如图作 AHBC 于 H，连接 AD由 EG 垂直平分线段 AC，推出 DA=DC，推出 DF+DC=AD+DF，可得当 A、D、F 共线
16、时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段 AF 的长；【解答】解：如图作 AHBC 于 H，连接 AD EG 垂直平分线段 AC，DA=DC，DF+DC=AD+DF，当 A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段 AF 的长，BCAH=120，AH=12，AB=AC，AHBC，BH=CH=10，BF=3FC，CF=FH=5，AF=13，DF+DC 的最小值为 13 CDF 周长的最小值为 13+5=18；故答案为 18【点评】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型 2.（2018广西桂林3
17、 分）如图，在 ABC 中，A=36,AB=AC,BD 平分ABC，则图中等腰三角形的个数是_ 【答案】3 详解：AB=AC，ABC 是等腰三角形 A=36，C=ABC=72 BD 平分ABC 交 AC 于 D，ABD=DBC=36，A=ABD=36，ABD 是等腰三角形 BDC=A+ABD=36+36=72=C，BDC 是等腰三角形 共有 3 个等腰三角形 故答案为：3 点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键 3.（2018新疆生产建设兵团5 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，O 的半径为2，则图中阴影部的面积是 【分析】根据等边三角
18、形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可【解答】解：ABC 是等边三角形，C=60，根据圆周角定理可得AOB=2C=120，阴影部分的面积是=，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键 4.（2018四川宜宾3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为 1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积，则 S=2（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识【分析】根据正
19、多边形的定义可得出ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性质结合 OM的长度可求出 AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出 S 的值【解答】解：依照题意画出图象，如图所示 六边形 ABCDEF 为正六边形，ABO 为等边三角形，O 的半径为 1，OM=1，BM=AM=，AB=，S=6SABO=61=2 故答案为：2 【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键 5.（2018天津3 分）如图，在边长为 4 的等边中，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为_ 【答案】【解析】分析：连接 DE，根据题意可得 DEG 是直
20、角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG 的长.详解：连接 DE，D、E 分别是 AB、BC 的中点，DEAC，DE=AC ABC 是等边三角形，且 BC=4 DEB=60,DE=2 EFAC，C=60,EC=2 FEC=30，EF=DEG=180-60-30=90 G 是 EF 的中点，EG=.在 Rt DEG 中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6（2018湖北省武汉 3 分）如图在ABC 中，ACB=60，AC=1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点若 DE 平分ABC 的周长，则 DE
21、的长是 【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CNAM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三角形中位线定理得到 DE=AM，根据等腰三角形的性质求出ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可【解答】解：延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CNAM 于 N，DE 平分ABC 的周长，ME=EB，又 AD=DB，DE=AM，DEAM，ACB=60，ACM=120，CM=CA，ACN=60，AN=MN，AN=ACsinACN=，AM=，DE=，E D C B A故答案为：【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定
22、理、正确作出辅助性是解题的关键 7（2018北京2 分）右图所示的网格是正方形网格，BAC_DAE（填“”，“”或“”）【答案】【解析】如下图所示，GF A B C D E AFG是等腰直角三角形，45FAGBAC ，BACDAE 另：此题也可直接测量得到结果【考点】等腰直角三角形 8.（2018江苏盐城3 分）如图，在直角 中，、分别为边、上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是直角三角形，则 _ 16.【答案】或 【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：当BPQ 是直角三角形时，有两种情况：BPQ=90 度，BQP=90 度。在直角 中，则 AB=10，
23、AC：BC：AB=3:4:5.(1)当BPQ=90 度，则BPQBCA，则 PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，设 PQ=3x，则 BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，此时AQP 为钝角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，则 10-5x=3x，解得 x=，则 AQ=10-5x=；（2）当BQP=90 度，则BQPBCA，则 PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，设 PQ=3x，则 BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，此时AQP 为直角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，则 10-4x=3x，解得 x=，则 AQ=
24、10-4x=；故答案为：或 【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确定当APQ 是等腰三角形时，再讨论BPQ 是直角三角形可能的情况；或者先确定BPQ 是直角三角形，再讨论APQ 是等腰三角形的情况；此题先确定BPQ 是直角三角形容易一些：BPQ 是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到BQP 与BCA 相似，可得到BQP 三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论APQ 是等腰三角形时，是哪两条相等，构造方程解出未知数即可，最后求出 AQ。9（2018四川成都3 分）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为_ 【答案】80 【考点】三角形的面积，等腰
25、三角形的性质 【解 析】【解 答】解：等 腰 三 角 形 的 一 个 底角 为 它 的 顶 角 的 度数 为：180-502=80 故答案为：80【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，就可求得结果。三.解答题 1.（2018山东淄博9 分）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中AB=AC，在ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点 M，N，G，连接 GM，GN小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 MG=NG；位置关系是 MGNG （2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思
26、考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明 【考点】KY：三角形综合题【分析】（1）利用 SAS 判断出ACDAEB，得出 CD=BE，ADC=ABE，进而判断出BDC+DBH=90，即：BHD=90，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出 MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【解答】解：
27、（1）连接 BE，CD 相较于 H，ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90 CAD=BAE，ACDAEB（SAS），CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90，BHD=90，CDBE，点 M，G 分别是 BD，BC 的中点，MGCD，同理：NGBE，MG=NG，MGNG，故答案为：MG=NG，MGNG；（2）连接 CD，BE，相较于 H，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）连接 EB，DC，延长线相交于 H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，A
28、EB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180ACDACE=ACD45+180ACD45=90，DHE=90，同（1）的方法得，MGNG【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键 2（2018湖北省孝感7 分）如图，ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：作BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D；作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P；连接 PB，PC 请你观察图形解答下列问题：（1）线段 PA，PB，PC 之间的数
29、量关系是 PA=PB=PC；（2）若ABC=70，求BPC 的度数 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；（2）根据等腰三角形的性质得：ABC=ACB=70，由三角形的内角和得：BAC=180270=40，由角平分线定义得：BAD=CAD=20，最后利用三角形外角的性质可得结论【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：AB=AC，AM 平分BAC，AD 是 BC 的垂直平分线，PB=PC，EP 是 AB 的垂直平分线，PA=PB，PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；（2）AB=AC，ABC=ACB=70，BAC=180270=40，AM 平分BAC，
30、BAD=CAD=20，PA=PB=PC，ABP=BAP=ACP=20，BPC=ABP+BAC+ACP=20+40+20=80【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键 3（2018北京7 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A，B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点G，连接DG，过点 E 作 EHDE交 DG 的延长线于点 H，连接 BH （1）求证：GFGC；（2）用等式表示线段 BH
31、 与 AE 的数量关系，并证明 GHFEDCBA【解析】（1）证明：连接 DF A，F 关于 DE 对称 ADFD AEFE 在ADE和FDE中 ADFDAEFEDEDE ADEFDE DAEDFE 四边形 ABCD 是正方形 90AC ADCD 90DFEA 18090DFGDFE DFGC ADDF ADCD DFCD 在 RtDCG和 RtDFG DCDFDGDG RtDCG RtDFG CGFG（2）2BHAE 证明：在 AD 上取点 M 使得 AMAE，连接 ME 四这形 ABCD 是正方形 ADAB90AADC DAEDFE ADEFDE ABCDEFHGMGHFEDCBA同理：C
32、DGFDG EDGEDFGDF 1122ADFCDF 1452ADC DEEH 90DEH 18045EHDDEHEDH EHDEDH DEEH 90A 90ADEAED 90DEH 90AEDBEH ADEBEH ADAB AMAE DMEB 在DME和EBH中 DMEBMDEBEHDEEH DMEEBH MEBH 在 RtAME中，90A，AEAM 222MEAEAMAE 2BHAE【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定 4.（2018天津10 分）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，的对应
33、点分别为，.（）如图，当点落在边上时，求点的坐标；（）如图，当点落在线段上时，与交于点.求证；求点的坐标.（）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（）点的坐标为.（）证明见解析；点的坐标为.（）.【解析】分析：（）根据旋转的性质得 AD=AO=5,设 CD=x，在直角三角形 ACD 中运用勾股定理可 CD 的值，从而可确定 D 点坐标；（）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；由知，再根据矩形的性质得.从而，故 BH=AH，在 RtACH 中，运用勾股定理可求得 AH 的值，进而求得答案；（）.详解：（）点，点，.四边形是矩形，.矩形是由矩形旋转得到的，.在中，有，.点的坐标为.（）由四边形是矩形，得.又点在线段上，得.由（）知，又，.由，得.又在矩形中，.设，则，.在中，有，.解得.点的坐标为.（）.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.