1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点41空间向量及其运算（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标空间向量的运算和运算律；共面向量定理和空间向量基本定理.二知识梳理1.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间
2、任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则， ，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4.模长公式：若，则，5.夹角公式：6.两点间的距离公式：若，则，或 三考点逐个突破1.空间向量的线性运算例1.（1） 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abc Cabc D.abc答案A解析()()cab，故选A.（2）如图，空间四边形OABC中，
3、a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于_答案abc解析()(bc)aabc.2.空间向量基本定理例2. 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC/AD，BE/FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.解析由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz.(1)设ABa，BCb，BEc，则由题设得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，
4、b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(0,0,2c)所以，(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又点G不在直线BC上，则GH/BC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，又CEF，HFD，故C、D、F、E四点共面(3)由ABBE，得ca，所以(a,0，a)， (a,0，a)，又(0,2b,0)，因此0，0，即CHAE，CHAD，又ADAEA，所以CH平面ADE.故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.3.数量积及其应用例3.(1) 三棱柱ABC
5、A1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CACBCC1，ACBC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点则AE与CF所成角的余弦值等于()A. B. C. D.答案A解析以C为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC1，则A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，A1(1,0,1)，E、F分别为A1C1、B1C1的中点，E(，0,1)，F(0，1)，(，0,1)，(0，1)，cos，故选A.(2)正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为()A1 B. C. D2答案C解析()，由条件知|2，2，|2|2|2|22222，|.4.空间向量及其坐标表示例4. 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A(1,1,1) B(1,1，) C(1,1，) D(1,1,2)答案A解析由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0,2m)(m0)，则E(1,1，m)，(1,1，m)，(0,0,2m)，|，|，2m2，cos，解之得m1，故选A.