1、不等式及不等式(组)一、选择题 1 （2018山东滨州3 分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）A B C D【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 x+13，得：x2，解不等式2x64，得：x1，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：B【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了 2 （2018山东临沂3 分）不等式组的正整数解的个数是（）A5 B4 C3 D2【分析】先解不等式组得到1x3，再找出此范围内的整
2、数【解答】解：解不等式 12x3，得：x1，解不等式2，得：x3，则不等式组的解集为1x3，所以不等式组的正整数解有 1、2、3 这 3 个，故选：C【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解www.3.（2018山东泰安3 分）不等式组有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（）A6a5 B6a5 C6a5 D6a5【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有 3 个整数解，可得答案【解答】解：不
3、等式组，由x1，解得：x4，由 4（x1）2（xa），解得：x2a，故不等式组的解为：4x2a，由关于 x 的不等式组有 3 个整数解，解得：72a8，解得：6a5 故选：B【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于 a 的不等式是解题关键 4.（2018湖南省永州市4 分）甲从商贩 A 处购买了若干斤西瓜，又从商贩 B 处购买了若干斤西瓜A、B两处所购买的西瓜重量之比为 3：2，然后将买回的西瓜以从 A、B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（）A商贩 A 的单价大于商贩 B 的单价 B商贩 A 的单价等于商贩 B 的单价 C商版 A 的单价小
4、于商贩 B 的单价 D赔钱与商贩 A、商贩 B 的单价无关【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解【解答】解：利润=总售价总成本=5（3a+2b）=0.5b0.5a，赔钱了说明利润0 0.5b0.5a0，ab 故选：A【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式 5.（2018株洲市3 分）下列哪个选项中的不等式与不等式组成的不等式组的解集为.()A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：首先计算出不等式 5x8+2x 的解集，再根据不等式的解集确定方法：大小小大中间找可确定另一个不
5、等式的解集，进而选出答案 详解：5x8+2x，解得：x，根据大小小大中间找可得另一个不等式的解集一定是 x5，故选：C 点睛：此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着 6.（2018 年江苏省宿迁）若 ab，则下列结论不一定成立的是（）。A.a-1b-1 B.2a2b C.D.【答案】D 【考点】不等式及其性质 【解析】【解答】解：A.ab，a-1b-1，故正确，A 不符合题意；B.ab，2a2b，故正确，B不符合题意；C.ab，故正确，C 不符合题意；D.当 ab0 时，a2b2 ，故错误，D 符合题意；故答案为：D
6、.【分析】A.不等式性质 1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等式任然成立；由此即可判断对错；B.不等式性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式任然成立；由此即可判断对错；C.不等式性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式任然成立；由此即可判断对错；D.题中只有 ab，当当 ab0 时，a2b2 ，故错误 7.（2018台湾分）如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张 15 元的价格贩售若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数
7、售出后的利润超过成本的 2 成？（）A112 B121 C134 D143【分析】设妮娜需印 x 张卡片，根据利润=收入成本结合利润超过成本的 2 成，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论【解答】解：设妮娜需印 x 张卡片，根据题意得：15x10005x0.2（1000+5x），解得：x133，x 为整数，x134 答：妮娜至少需印 134 张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的 2 成 故选：C【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键 8（2018湖北荆门3 分）已知关于
8、 x 的不等式 3xm+10 的最小整数解为 2，则实数 m 的取值范围是（）A4m7 B4m7 C4m7 D4m7【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为 2 得出关于 m 的不等式组，解之即可求得 m 的取值范围【解答】解：解不等式 3xm+10，得：x，不等式有最小整数解 2，12，解得：4m7，故选：A【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式应根据不等式的基本性质 9（2018湖北恩施3 分）关于 x 的不等式的解集为 x3，那么 a 的取值范围为（）Aa3 Ba3 Ca3 Da3【分析】先解第一个不等式得到 x3，由于不等式组的解集为
9、 x3，则利用同大取大可得到 a 的范围【解答】解：解不等式 2（x1）4，得：x3，解不等式 ax0，得：xa，不等式组的解集为 x3，a3，故选：D【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 10（2018浙江衢州3 分）不等式 3x+25 的解集是（）Ax1 Bx Cx1 Dx1【考点】一元一次不等式的解法【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案【解答】解：3x3 x1 故选 A【点评】本题考查了一元一次不等式的解
10、法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型 11.（2018浙江舟山3 分）不等式 1x2 的解在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【考点】解一元一次不等式 在数轴上表示一元一次不等式的解【解析】在数轴上表示不等式的解时，不等号是“”或“”的时候，点要打实心【解答】解：因为 1x2，3x，所以不等式的解为 x3，故答案为 A。【点评】本题考查解一元一次不等式解法及在数轴上表示一元一次不等式的解.12.（2018重庆(A)4 分）若数 a 使关于 x 的不等式组112352xxxxa有且只有四个整数解，且使关于 y的方程2211yaayy的解为非负数，则符合条件的所有整数
11、 a 的和为()A 3 B 2 C1 D2【考点】不等式组和分式方程的应用【分析】解关于 x 的不等式组，根据题意求出 a 的取值范围，然后解关于 y 的方程，排除分式方程无解的情况，结合不等式组的结果，找出符合条件的所有整数 a 并求其和.【解答】解不等式425253121axxaxxxx得，由于不等式有四个整数解，根据题意，则1420 a，解得22a。解分式方程2121yayay得ay 2，又需排除分式方程无解的情况，故2a且1a.结合不等式组的结果有 a 的取值范围为122aa且，又 a 为整数,所以 a 的取值为2,0,1,和为 1.故选 C【点评】此题考查不等式组和分式方程的应用，需
12、要特别注意分式方程无解情况的考虑，属于中档题 13.（2018广东3 分）不等式 3x1x+3 的解集是（）Ax4 Bx4 Cx2 Dx2【分析】根据解不等式的步骤：移项；合并同类项；化系数为 1 即可得【解答】解：移项，得：3xx3+1，合并同类项，得：2x4，系数化为 1，得：x2，故选：D【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为 1 14（2018 年四川省南充市）不等式 x+12x1 的解集在数轴上表示为（）A B C D【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集【分析】根据不等式解集的
13、表示方法，可得答案【解答】解：移项，得：x2x11，合并同类项，得：x2，系数化为 1，得：x2，将不等式的解集表示在数轴上如下：，故选：B【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示 15.(2018 四川省眉山市 2 分)已知关于 x 的不等式组 仅有三个整数解，则 a 的取值范围是（）。A.a1中国教%育*出版#网 B.a1 C.a1 D.a1中国教育出#&版*网【答案】A 【考点】一元一次不等式组的特殊解 【解析】【解答】解：解不等式得：x1,原不等式组的解集为：2
14、a-30），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值。【考点】。一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用【解析】解：（1）设道路硬化的里程数至少是 x 千米。则由题意得：x4(50-x)解不等式得：x40 答：道路硬化的里程数至少是 40 千米。（2）由题意得：2017 年：道路硬化经费为：13 万/千米，里程为：30km 道路拓宽经费为：20 万/千米，里程为：15km 今年 6 月起：道路硬化经费为：13（1+a%）万
15、/千米，里程数：40（1+5a%）km 道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km 又政府投入费用为：780（1+10a%）万元 列方程：13(1+a%)40(1+5a%)+26(1+5a%)10(1+8a%)=780(1+10a%)令 a%=t，方程可整理为：13(1+t)40(1+5t)+26(1+5t)10(1+8t)=780(1+10t)520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)化简得：2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3(1+10t)t(10t-1)=0 10t（舍去），2110t.a=10 答
16、：a 的值为 10。【点评】本题考察一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。（1）利用“道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的 4 倍”列出不等式求解。（2）根据 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出 6 月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。15.（2018广东广州9 分）解不等式组 【答案】解：，解不等式得：x-1，解不等式得：x2,不等式组的解集为：-1x2，【考点】解一元一次不等式组 【解析】【分析】分别解出每个不等式的解，再得出不等式组的解集.16.（2018广东广州
17、12 分）友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台，最近，该商店对 A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售，方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售，若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售，某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电脑 x 台。（1）当 x=8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？（2）若该公司采用方案二方案更合算，求 x 的范围。【答案】（1）解：x=8，方案一的费用是：0.9ax=0.9a8=7.2a，方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=5a+0.8a（8-5）=7.4a a0，7.2a
18、7.4a 方案一费用最少，答：应选择方案一，最少费用是 7.2a 元.（2）解：设方案一，二的费用分别为 W1 ，W2 ，由题意可得：W1=0.9ax（x 为正整数），当 0 x5 时，W2=ax（x 为正整数），当 x5 时，W2=5a+（x-5）0.8a=0.8ax+a（x 为正整数），其中 x 为正整数,由题意可得，W1W2 ，当 0 x5 时，W2=axW1 ，不符合题意，0.8ax+a0.9ax，解得 x10 且 x 为正整数，即该公司采用方案二购买更合算，x 的取值范围为 x10 且 x 为正整数。【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，根据实际问题列一次函数表达式 【解
19、析】【分析】（1）根据题意，分别得出方案一的费用是：0.9ax，方案二的费用是：5a+0.8a（x-5）=a+0.8ax，再将 x=8 代入即可得出方案一费用最少以及最少费用.（2）设方案一，二的费用分别为 W1 ，W2 ，根据题意，分别得出 W1=0.9ax（x 为正整数），其中 x 为正整数,再由 W1W2 ，分情况解不等式即可得出 x 的取值范围.17.（2018广东深圳8 分）某超市预测某饮料有发展前途，用 1600 元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用 6000 元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元.（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若
20、二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 1200 元，那么销售单价至少为多少元？【答案】（1）解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批进货价为 x+2，依题可得：解得：.经检验：是原分式方程的解.答：第一批饮料进货单价为 8 元.（2）解：设销售单价为 元，依题可得：（m-8）200+（m-10）6001200，化简得：（m-8）+3（m-10）6，解得：m11.答：销售单价至少为 11 元.【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用 【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为 x 元，则第二批进货价为 x+2，根据第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，由此列出分式方程，解
21、之即可得出答案.（2）设销售单价为 m 元，根据获利不少于 1200元，列出一元一次不等式组，解之即可得出答案.18.（2018广西桂林6 分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】x2,图见解析.【解析】分析：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把 x 的系数化为 1，并在数轴上表示出来即可 详解：去分母得，5x-13（x+1），去括号得，5x-13x+3，移项得，5x-3x3+1，合并同类项得，2x4，把 x 的系数化为 1 得，x2 在数轴上表示为：点睛：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键 18.（2018湖北省宜昌6 分）解不等式组，并把它的
22、解集在数轴上表示出来【分析】解一元一次不等式组的方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分；并把它的解集在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式，得：x1；解不等式，得：x2；原不等式组的解集是 1x2 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分 19（2018湖南省常德5 分）求不等式组的正整数解【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案【解答】解：，解不等式，得 x2，解不等式，得 x，不等式组的解集是2x，不等式组的正整数解是 1，2，3，4【点评】本题
23、考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表示方法是解题关键 20.（2018湖北省孝感10 分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理 A，B 两种型号的净水器，每台 A 型净水器比每台 B 型净水器进价多 200 元，用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等（1）求每台 A 型、B 型净水器的进价各是多少元？（2）槐荫公司计划购进 A，B 两种型号的净水器共 50 台进行试销，其中 A 型净水器为 x 台，购买资金不超过 9.8 万元试销时 A 型净水器每台售价 2500
24、元，B 型净水器每台售价 2180 元，槐荫公司决定从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献 a（70a80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完 50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W，求 W 的最大值【分析】（1）设 A 型净水器每台的进价为 m 元，则 B 型净水器每台的进价为（m200）元，根据数量=总价单价结合用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等，即可得出关于 m 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据购买资金=A 型净水器的进价购进数量+B 型净水器的进价购进数量结合购买资金不超过 9.8万元，即可得出关于 x 的
25、一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，由总利润=每台 A 型净水器的利润购进数量+每台 B 型净水器的利润购进数量a购进 A 型净水器的数量，即可得出 W 关于 x 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设 A 型净水器每台的进价为 m 元，则 B 型净水器每台的进价为（m200）元，根据题意得：=，解得：m=2000，经检验，m=2000 是分式方程的解，m200=1800 答：A 型净水器每台的进价为 2000 元，B 型净水器每台的进价为 1800 元（2）根据题意得：2000 x+180（50 x）98000，解得：x40 W=（25002000）
26、x+（21801800）（50 x）ax=（120a）x+19000，当 70a80 时，120a0，W 随 x 增大而增大，当 x=40 时，W 取最大值，最大值为（120a）40+19000=2380040a，W 的最大值是（2380040a）元【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出 W 关于 x 的函数关系式 21.（2018湖北省武汉8 分）用 1 块 A 型钢板可制成 2 块 C 型钢板和 1 块 D 型钢板；用 1 块 B 型钢板可制成 1 块 C 型钢板和 3
27、块 D 型钢板现准备购买 A、B 型钢板共 100 块，并全部加工成 C、D 型钢板要求 C型钢板不少于 120 块，D 型钢板不少于 250 块，设购买 A 型钢板 x 块（x 为整数）（1）求 A、B 型钢板的购买方案共有多少种？（2）出售 C 型钢板每块利润为 100 元，D 型钢板每块利润为 120 元若童威将 C、D 型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案【分析】（1）根据“C 型钢板不少于 120 块，D 型钢板不少于 250 块”建立不等式组，即可得出结论；（2）先建立总利润和 x 的关系，即可得出结论【解答】解：设购买 A 型钢板 x 块，则购买 B 型钢板（100 x）块
28、，根据题意得，解得，20 x25，x 为整数，x=20，21，22，23，24，25 共 6 种方案，即：A、B 型钢板的购买方案共有 6 种；（2）设总利润为 w，根据题意得，w=100（2x+100 x）+120（x+3003x）=100 x+10000240 x+36000=14x+46000，140，当 x=20 时，wmax=1420+46000=45740 元，即：购买 A 型钢板 20 块，B 型钢板 80 块时，获得的利润最大【点评】此题主要考查了二元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的等量关系是解题关键 22（2018湖南省常德7 分）某水果店 5 月份购进
29、甲、乙两种水果共花费 1700 元，其中甲种水果 8 元/千克，乙种水果 18 元/千克6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元千克，乙种水果 20 元/千克（1）若该店 6 月份购进这两种水果的数量与 5 月份都相同，将多支付货款 300 元，求该店 5 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若 6 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克，且甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，则 6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？【分析】（1）设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克，根据总价=单价购进数量，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组
30、，解之即可得出结论；（2）设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果（120a）千克，根据总价=单价购进数量，即可得出 w 关于 a 的函数关系式，由甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克，根据题意得：，解得：答：该店 5 月份购进甲种水果 190 千克，购进乙种水果 10 千克（2）设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果（120a）千克，根据题意得：w=10a+20（120a）=10a+2400 甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，a3（120a），解得：a90 k=100，w 随 a 值的增大而减小，当 a=90 时，w 取最小值，最小值1090+2400=1500 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是 1500 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 w 关于 a 的函数关系式