1、等和线的应用例6 全国卷在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD，则的最大值为（A）A.3B.22C.5D.2解析解法一如图，过点C作CEBD交直线AB于点E，因为APABAD，则由等和线定理可知，当等和线l与圆相切时，最大，设此时l与直线AB交于点F，则易知ABBEEF，此时AFABABBEEFAB3ABAB3.解法二以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）.可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离d2221225，所以圆C的方程为（x1
2、）2（y2）245.因为点P在圆C上，所以可设P（1255cos ，2255sin ）.易知AB（1，0），AD（0，2），APABAD（，2），所以1+255cos，2+255sin=2，所以2255cos 55sin 2sin（）3，其中满足tan 2.所以的最大值为3.方法技巧等和线定理：如图，对于平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OPOAOB（，R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线A1B1上，则k（定值）且kOPOFOB1OBOA1OA（F为OP与AB的交点），反之也成立.我们把直线AB以及与直线AB平行的直线A1B1称为等和线.推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点
3、共线结论可知，若OFxOAyOB（x，yR），则xy1，由OAB与OA1B1相似，必存在一个常数k（kR），使得OPkOF，则OPkOFkxOAkyOB，又OPOAOB（，R），所以k（xy）k.反之也成立.训练4 在扇形AOB中，C为弧AB上的一个动点，AOB60.若OCxOAyOB，则x3y的取值范围是1，3.解析解法一如图1，在OB上取一点D，使OB3OD，连接AD，与OC交于点E，过C作CFAD，交OB于点F，则OCxOAyOBxOA3yOD，所以x3yOCOEOFOD.当C，A重合时，OFOD最小，为1；当C，B重合时，OFOD最大，为3，所以x3y的取值范围是1，3.图1图2解法二
4、（坐标法）设扇形AOB的半径为1，以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则B（1，0），A（12，32），设BOC，03，则C（cos ，sin ），OC（cos ，sin ）x（12，32）y（1，0），即cosx2y，sin32x，解得x23sin3，ycos3sin3，所以x3y23sin33cos 3sin 3cos 33sin .令g（）3cos 33sin （03），易知g（）在0，3上单调递减，所以g（3）1g（）g（0）3，所以x3y的取值范围是1，3.解法三（构造函数法）设扇形AOB的半径为r，因为OCxOAyOB，所以OC2（xOAyOB）2x2OA22xyOAOBcos 60y2OB2，即r2x2r2xyr2y2r2，整理得关于y的方程y2xyx210.易知x，y0，1，43x20，所以yx43x22，所以x3yx3x+343x2212x343x22.令f（x）12x343x22（x0，1），易知f（x）在0，1上单调递减，所以f（1）1f（x）f（0）3，所以x3y的取值范围是1，3.
