1、突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题1.命题点1已知双曲线C：x2a2y2b21（a0，b0）的实轴长为2，且过点（e，3），其中e为双曲线C的离心率.（1）求C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A，B，点N在线段AB上，且MAMBANNB，P为线段AB的中点，记直线OP，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，求k1k2的最小值.解析（1）双曲线C：x2a2y2b21的实轴长为2，a1，双曲线过点（e，3），ecac，c29b21，又c2a2b21b2，b23，故双曲线C的标准方程为x2y231.（2）设直线l：myx2（m0），A（x1，y1
2、），B（x2，y2），N（x3，y3），由myx+2，x2y23=1，整理得（3m21）y212my90，则3m210，=36m2+360，y1y212m3m21，y1y293m21.则P（23m21，6m3m21），k13m. MAMBANNB，y1y2y3y1y2y3，y32y1y2y1y21812m32m，N（12，32m），k23m. k1k23m（3m）9，k1k29.k1k22k1k26，当且仅当k1k2，即k13，k23或k13，k23时等号成立，此时m1或1，y1y293m21920，满足l与C的左、右两支分别相交.k1k2的最小值为6.2.命题点2已知椭圆C：x2a2y2b2
3、1（ab0）的离心率为12，过点P（1，0）作x轴的垂线，与C交于A，B两点，且AB2b2a.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l1与椭圆C交于D，E两点，直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1l2，l1，l2交于点P，求DEMN的取值范围.解析（1）由椭圆C的离心率为12，得ca12，即a2c.将x1代入椭圆方程，得1a2y2b21，则yba21a，（点拨：因为过点P（1，0）且与x轴垂直的直线与C有2个交点，所以a1）由AB2b2a，得2ba21a2b2a，即a21b2.由并结合a2b2c2，得a2，b3，所以椭圆C的标准方程为x24y231.（2）当直线l1的斜率为0时，直线l2的方
4、程为x1，此时DE4，MNAB3，所以DEMN12.当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，此时MN4，DE3，所以DEMN12. 当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为xmy1（m0），由xmy+1，x24y23=1，得（3m24）y26my90.设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1y26m3m2+4，y1y293m2+4，所以DEm2+1y1y2m2+1（y1y2）24y1y2m2+1（6m3m2+4）2363m2+412（m2+1）3m2+4.因为l1l2，所以可用1m替换DE表达式中的m，得MN12（1+m2）4m2+3，所以DEMN144（m2+1）2（3m2+4)(4m2+3）.令tm21，因为m0，所以t1，01t1，m2t1，所以DEMN144t2（3t+1)(4t1）144t212t2t114412+1t1t2144（1t12）2494，所以57649DEMN12.综上，DEMN的取值范围为57649，12.
