1、第2讲 等差数列1.命题点1/2021新高考卷记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5，a2a4S4.（1）求数列an的通项公式；（2）求使Snan成立的n的最小值.解析（1）设等差数列an的公差为d（d0），则由题意，得a1+2d=5a1+10d，（a1d)(a1+3d）=4a1+6d，解得a14，d=2，所以ana1（n1）d2n6.（2）解法一Snn（a1an）2n（2n10）2n25n，则由n25n2n6，整理得n27n60，解得n1或n6.因为nN*，所以使Snan成立的n的最小值为7.解法二由Snan得Sn10（n2），即（a1an1)(n1）20，所以a1an12n
2、120，解得n6，所以n的最小值为7.2.命题点2/多选两个等差数列an和bn，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为Sn和Tn，则下列说法正确的是（AB）A.若Sn为等差数列，则d12a1B.若SnTn为等差数列，则d1d20 C.若anbn为等差数列，则d1d20D.若bnN*，则abn也为等差数列，且公差为d1d2解析由题意得Snd12n2（a1d12）n，Tnd22n2（b1d22）n.若数列Sn为等差数列，则由等差数列通项公式的特征，可得a1d120，即d12a1，所以选项A正确；SnTnd1d22n2（a1b1d12d22）n，由等差数列通项公式的特征，可得d1d220，即d1d
3、20，所以选项B正确；当d10或d20时，数列anbn为等差数列，所以选项C错误；因为ana1（n1）d1，bnb1（n1）d2，bnN*，所以abnab1（n1）d2a1b1（n1）d21d1（a1b1d1d1）（n1）d1d2，可知数列abn是等差数列，且公差为d1d2，所以选项D错误.故选AB.3.命题点2/2021全国卷乙记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2Sn1bn2.（1）证明：数列bn是等差数列.（2）求an的通项公式.解析（1）因为bn是数列Sn的前n项积，所以当n2时，Snbnbn1，代入2Sn1bn2可得，2bn1bn1bn2，整理可得2bn112b
4、n，即bnbn112（n2）.又2S11b13b12，所以b132，故bn是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）可知，bnn+22，则2Sn2n+22，所以Snn+2n+1，当n1时，a1S132，当n2时，anSnSn1n+2n+1n+1n1n（n+1）.当n1时，a13211212，故an32，n=1，1n（n+1），n2.4.命题点4在等差数列an中，若a10a91，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn0成立的正整数n的最大值是（C）A.15B.16C.17D.14解析因为等差数列an的前n项和有最大值，所以等差数列an为递减数列，又a10a91，所以a90，a100，所以a9a100，所以S1818（a1a18）29（a9a10）0，且S1717（a1a17）217a90.故使得Sn0成立的正整数n的最大值为17.
