1、第4讲 空间直线、平面的垂直1.命题点2/2022全国卷乙如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点.（1）证明：平面BED平面ACD.（2）设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积.解析（1）因为ADCD，ADBBDC，DBDB，所以ADBCDB，所以BABC.又E为AC的中点，所以ACBE，ACDE.因为BEDEE，且BE，DE平面BED，所以AC平面BED.又AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.（2）由（1）可知，AC平面BED.连接EF，因为EF平面BED，所以ACEF，当AFC的面积最小时，点F到直线AC
2、的距离最小，即EF的长度最小.因为ABBC2，ACB60，所以ABC为正三角形，则AC2，BE3，AE1.因为ADCD，ADCD，所以ADC为等腰直角三角形，所以DE1.所以DE2BE2BD2，则DEBE.在RtBED中，当EF的长度最小时，EFBD，EFDEBEBD32.由射影定理知EF2DFFB，又DFFBBD2，易知DFBF，所以DF12，FB32.解法一因为DEAC，DEBE，ACBEE，AC，BE平面ABC，所以DE平面ABC，则F到平面ABC的距离dBFBDDE34.故VFABC13SABCd133443434.解法二由（1）知BDAC，又BDEF，EFACE，AC，EF平面ACF
3、，所以BD平面ACF，所以BF即B到平面ACF的距离，故VFABCVBAFC13SAFCBF1312ACEFBF34.2.命题点3/北京高考如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.（1）求证：PEBC.（2）求证：平面PAB平面PCD.（3）求证：EF平面PCD.解析（1）因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.（2）因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD
4、.又PAPD，PA，AB平面PAB，PAABA，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.（3）如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FG12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DE12BC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.3.命题点3/2024广东省佛山市南海区模拟节选如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ABCD，PAADCD1，AB2.证明：BC平面PAC.解析如图所示，取AB的中点F，连接CF，则AFCD1.又因为AFCD，所以四边形AFCD是平行四边形.因为ADCD，ADCD，所以四边形AFCD是正方形，所以ABCF，所以ABC是等腰三角形，则ACBC2，所以AC2BC24AB2，所以ACBC，因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又因为PA，AC平面PAC，PAACA，所以BC平面PAC.
