1、突破3数列中的创新型问题命题点1数学文化情境下的数列应用例1 2021新高考卷某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180 dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n次，那么nk=1Sk240（3n+32n）dm2.解析依题意得，S11202240（dm2）；S2603180（d
2、m2）；当n3时，共可以得到5 dm6 dm，52 dm12 dm，10 dm3 dm，20 dm32 dm四种规格的图形，且面积均为30 dm2，所以S3304120（dm2）；当n4时，共可以得到5 dm3 dm，52 dm6 dm，54 dm12 dm，10 dm32 dm，20 dm34 dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15 dm2，所以S415575（dm2）；所以可归纳Sk2402k（k1）240（k+1）2k.所以k=1nSk240（1322423n2n1n+12n），所以12k=1nSk240（222323424n2nn+12n+1）
3、，由得，12k=1nSk240（112212312412nn+12n+1）24011221（12）n1112n+12n+1240（32n+32n+1），所以k=1nSk240（3n+32n）（dm2）.方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等.训练1 2023安徽名校联考“物不知数”原载于孙子算经，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在数书九章大衍求一术中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之
4、一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，记an的前n项和为Sn，则S10（C）A.495B.522C.630D.730解析由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列an是以9为首项，12为公差的等差数列，则an12n3（nN*），所以S1010（9+117）2630.故选C. 命题点2现代生活情境下的数列应用例2 某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆
5、某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24 h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24 h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（C）A.25辆B.24辆C.23辆D.22辆解析由题意可知，一辆翻斗车需要2024480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24 h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，an，则数列an是公差为13的等差数列，所以a124，记an的前n项和为Sn，则Snna1
6、n（n1）2（13）24n16n（n1），当n23时，Sn467.7480，当n24时，Sn484480，故n的值为24，至少需要24辆翻斗车，所以至少还需要抽调23辆翻斗车，故选C.训练2 多选如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（nN*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设bnan1n，
7、则下面结论正确的是（ABD）A.a37B.an12an1C.bn2nn1D.i=1nbiibibi+11212n+2n2解析由题意易得，a11，a23.易知将n1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为an1，若要将2号杆中的n1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为an；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为an，所以an12an1，所以an112（an1）.又a112，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an12
8、n，an2n1，a37，所以选项A，B均正确；因为bnan1n，所以bn2n11n，所以选项C错误；因为bnnbnbn+11bn1bn+1，所以i=1nbiibibi+11b11b21b21b31b31b41bn1bn+11b11bn+11212n+2n2，所以选项D正确.综上，选ABD.命题点3数列中的新定义问题例3 我们把形如Fn22n1（nN）的数叫做“费马数”，设anlog2（Fn1），nN*，Sn表示数列an的前n项和，则使不等式22S1S223S2S32n+1SnSn+163127成立的最大正整数n的值是（A）A.5B.6C.7D.8解析因为Fn22n1（nN），所以当nN*时，a
9、nlog2（Fn1）log2（22n11）2n，所以Sn2（12n）122n12.而2n+1SnSn+12n+1（2n+12)(2n+22）12n+1212n+22，所以22S1S223S2S32n+1SnSn+1122212321232124212n+1212n+221212n+22.若1212n+2263127，则12n+221254，即2n2256，解得n6，故选A.训练3 函数yx称为高斯函数，x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.已知数列an满足a33，且ann（an1an），若bnlg an，则数列bn的前2 025项和为4968.解析由ann（an1an），得（n1）annan1，即an+1ann+1n，利用累乘法（或an+1n+1anna331），可得ann.记bn的前n项和为Tn，当1n9时，0lg an1，bnlg an0；当10n99时，1lg an2，bn1；当100n999时，2lg an3，bn2；当1 000n2 025时，3lg an4，bn3.所以T2 025（b1b9）（b10b99）（b100b999）（b1 000b20 25）9090190021 02634 968.
