1、命题点2轨迹问题例2 2023西安检测在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为3.若该正方体外接球的表面积为12，则动点F的轨迹长度为（A）A.439B.33C.233D.433解析如图1，取AD的中点H，连接EH，FH，则EHAA1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，所以EH平面ABCD，所以EFH为EF与底面ABCD所成的角，即EFH3.设正方体的棱长为a，则4（32a）23a212，解得a2，所以EHAA1a2，则HF23，所以点F的轨迹为以H为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD内的部分.如图
2、2，HGHM23，则cosAHGAHHG32，则AHG6，由对称性可得DHM6，所以MHG2623，故点F的轨迹长度为2323439，故选A.方法技巧与立体几何有关的轨迹问题的解题方法（1）几何法：利用几何图形的性质找满足题意的点.（2）排除法：利用特殊位置或者特殊值进行排除.（3）定义法：转化为平面轨迹问题，利用解析几何相关知识计算.（4）建系法：建立空间直角坐标系，设出动点坐标，根据题意建立方程（组），得出轨迹方程.训练2 2023广州市一测在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1平面AEF，则点P的轨迹长为2
3、2，点P到直线AF的距离的最小值为23.解析如图，连接AD1，D1F，易证AD1EF，从而A，E，F，D1四点共面，平面AEF即平面AEFD1.记AA1，A1D1的中点分别为M，N，连接MN，NC1，MC1，可得MNAD1，MC1AF.MN平面AEFD1，AD1平面AEFD1，MN平面AEFD1.同理可得MC1平面AEFD1，又MNMC1M，MN，MC1平面MNC1，平面MNC1平面AEFD1.故点P的轨迹是线段MN，其长为12AD122.分别以DA，DC，DD1的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），F（0，1，12），M（1，0，12），N（12，0，1），AF（1，1，12），AF32.由点P在线段MN上，可设P（x，0，32x），12x1，则AP（x1，0，32x），AP（x1）202（32x）22x25x134.设AF与AP的夹角为，则cos x+1+12（32x）322x25x13432x74322x25x134x762x25x134，sin x283x1792x25x134.点P到直线AF的距离dAPsin x283x179（x43）219，又12x1，dmin（143）21923，即点P到直线AF的距离的最小值为23.
