1、数 学本试卷共4页，22题，考试用时120分钟，试卷满分150分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）A. B. 1C. D. 3. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确
2、定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约（ ）年.（参考数据：）A. 3000B. 3100C. 3200D. 33004. 已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 6. 为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作.已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派
3、3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（ ）A. 252B. 250C. 182D. 1807. 在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（ ）A. B. C. D. 、的大小关系不定8. 若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
4、分.9. 下列关于函数的结论正确的是（ ）A. 函数是偶函数B. 函数的最大值为2C. 函数在单调递增D. 函数的最小正周期是10. 已知正三棱锥中，为的中点，则（ ）A. B. C. 该三棱锥的体积是D. 该三棱锥的外接球的表面积是11. 已知直线：与：相交于、两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（ ）A. B. 1C. 2D. 312. 设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 当（且）时，D. 当（且）时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等差数列的前项和为，则的最小
5、值为_.14. 宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形中，那么的值为_.15. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且，则_.16. 2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为10，则_（用表示）；据调研发现，当最长时，该奖杯比较美观，此时的值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前项和，令，.（1）求、的通项公式；（2）数列中去掉数列中的项
6、，剩下的项按原来顺序排成新数列，求的值.18. 如图，在平面四边形中，求四边形的面积.19. 为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12（1）求，；（2）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为，求的数学期望.附：0.0500.0100.0013.8
7、416.63510.82820. 如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平面的射影为线段的中点，过点，的平面与棱交于点.（1）证明：四边形是矩形；（2）求二面角的余弦值.21. 双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点.（i）证明：；（ii）是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22. 已知函数（其中是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是.（1）求，；（2）设函数，若在上恒成立，求的取值范围.数学参考答案一、
8、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. D 2. B3. C 【解析】设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的，依题意，有，；设距今约年，碳14衰减为原来的，结合参考数据：，可得.4. C 【解析】利用同角三角函数的基本关系可解得：，或，再由二倍角公式得.5. A 【解析】由对数运算公式得，易知，故.6. D 【解析】因为每个展区至少要派3人，则两个展区中派遣的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女志愿者不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.另法：.7. A 【解析】设球心到不过球心的任意非圆面的截面的距离为，则该截面的面积，而过球
9、心的截面的面积，故选A.8. D 【解析】设圆的半径为，（1）若点在圆内不同于点处，如图（1）所示，则有，故点的轨迹是以、为焦点的椭圆，所以B正确；（2）若点与重合，则有，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以A正确；（3）若点在圆上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段的垂直平分线必过点，故与重合，故点的轨迹是一个点；（4）若点在圆外，如图（4）所示，则，所以，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，当的垂直平分线交的延长线于点时，的轨迹是以、为焦点的双曲线左支，所以C正确；故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对
10、的得2分，有选错的得0分.9. AC 【解析】作出函数的图像如下：由图像易知，选项AC正确.10. ABD 【解析】作中点，连接，则易证平面，所以，又，所以平面，所以，又三棱锥为正三棱锥，且，在中，由勾股定理解得，故三棱锥的体积为，其外接球半径为，外接球表面积为.故选ABD.11. ACD 【解析】圆的圆心为，半径为，由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，设圆心到直线的距离为，则，则，整理可得，解得，因为直线不过圆心，则，解得.所以.故选ACD.12. ACD 【解析】对A，当时，故A正确；对B，当时，则由可得，或，故B错误；对C，当（且）时，则，故C正确；对D，所以D正确，故选ACD
11、 .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】-3【解析】易得，当或3时，.14.【答案】115.【答案】【解析】设过的直线方程为，则联立方程得，所以，故，.16.【答案】，【解析】作交于，交于，且，则，则，.设，作交于，交于，因为，所以，所以，所以，即.所以，所以，因为，所以当，即时，最大，故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解：（1）当时，又也适合上式，所以，.（2）由（1）知，所以，由此可知.18. 解：设.在中，由正弦定理得，即，在中，同理有，即，从而有，化简得，因此有，.于是知四边形是由边长为2的正和腰长为
12、2，顶角的等腰构成，所以四边形的面积为.解法二：过作，分别交、于、两点，在中，在矩形中，是的中点，在，所以为等边三角形，在中，由等面积法可以得到，.19. 解：（1）由已知，该校有女生400人，故，得，从而.（2）作出列联表如下：超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828女12820合计321648.所以不能有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.（3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率，所以，且，.故的数学期望.20. 解：（1）连接，.在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，且平面平面，所以，因此.因为点
13、是的中点，所以为中点，所以，所以四边形为平行四边形.在正中，因为是的中点，所以.由题可知平面，所以，.因为，所以平面，于是，故四边形为矩形.（2）由（1）知，两两垂直，以，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.在中，所以.于是，.设平面的法向量为，由，得，取.设平面的法向量为，由，得，取.设二面角的大小为，由图知，则.故所求二面角的余弦值为.21. 解：（1）设双曲线：，易得焦点到渐近线的距离为，故，又，所以，故所求双曲线的方程为.（2）（i）设过点的直线：，联立，消去，整理得：，设，.当时，即中点横坐标为，当时，即中点横坐标为，故线段，的中点重合，所以.（ii）由（i），所以，.又，所以，满足，故存在这样的直线：.22. 解：（1），.（2），整理得.记，只需.而.令，则，故在单调递增.又，由零点存在性定理可知，存在唯一，使.当时，单调递减；当时，单调递增；所以.由得，所以，所以，即，故，且，所以，故所求的取值范围.方法二：证明：证明：构造函数，令，所以函数在单调递增，令，所以函数在单调递减.所以函数，即，由在上恒成立，故恒成立，所以，故.