1、第四章 定积分授课提示：对应学生用书第95页A组基础巩固1下列等式不成立的是()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdx解析：由定积分的性质知选项A、B、D正确，故选C.答案：C2已知f(x)x3xsin x，则2f(x)dx的值为()A等于0B大于0C小于0 D不确定解析：易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质2f(x)dx0.答案：A3已知曲线yf(x)在x轴下方，则由yf(x)，y0，x1和x3所围成的曲边梯形的面积S可表示为()A. B.Cf(x)dx D解析：因为f(x)
2、位于x轴下方，故f(x)0.所以0)则有a.答案：8利用定积分的性质、几何意义和被积函数的奇偶性求出_.解析：由于ysin5x为奇函数，所以0.而3，所以3.答案：39化简下列各式，并画出各小题所表示面积的图形：(1)x2dx(2)(1x)dx(x1)dx.解析：(1)x2dx，它所表示面积的图形如图(1)(1)(2)(2)(1x)dx(x1)dx|1x|dx，它所表示面积的图形如图(2)10利用定积分的性质和几何意义求下列定积分(提示：若椭圆为1(ab0)，则其面积为ab)(1)dx；(2).解析：(1)原式|2x|dx(2x)dx(x2)dx，如图所示由几何意义知(2x)dx222，(x2
3、)dx11，dx.(2)被积函数的图像是中心在原点，长轴在x轴，短轴在y轴上的半椭圆椭圆的面积是ab，其中a5，b4，10.B组能力提升1已知f(x)dx56，则()A.f(x)dx28B.f(x)dx28C.2f(x)dx56D.f(x)dxf(x)dx56解析：f(x)dxf(x)dxf(x)dx56.答案：D2已知定积分f(x)dx6，且f(x)为奇函数，则f(x)dx等于()A0 B16C12 D8解析：由f(x)为奇函数，则，所以f(x)dxf(x)dx0.故选A.答案：A3若a，b，c，则三者之间的大小关系为_解析：x(0，)时，sin xxtan x，所以bac.答案：bac4设
4、yf(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足yif(xi)(i1,2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为_解析：由均匀随机数产生的原理知：在区间0,1上满足yif(xi)的点都落在了函数yf(x)的下方，又0f(x)1，所以由围成的图形的面积是，由定积分的几何意义知f(x)dx.答案：5已知：exdxe1，exdxe2e，x2dx，dx2ln 2.求：(1)exdx；(2
5、)(ex3x2)dx；(3)(ex)dx.解析：(1)exdxexdxexdxe1e2ee21.(2)(ex3x2)dxexdx(3x2)dxexdx3x2dxe218e27.(3)(ex)dxexdxdxe2eln 2.6用定积分定义求自由落体的下落距离已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内，物体下落的距离s.解析：(1)分割：将时间区间0，t分成n等份，把时间0，t分成n个小区间t，(i1,2，n)每个小区间所表示的时间tt.在各个小区间物体下落的距离记为s1，s2，sn.(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在小区间t，t上任取一时刻i(i1,2，n)，为计算方便，取i为小区间的左端点，用时刻i的速度v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体在t内所经过的距离，可以近似地表示为sig(t)(i1,2，n)(3)求和：snsi012(n1)gt2(1)从而得到s的近似值ssngt2(1)(4)取极限：当所分时间愈短，即t愈小，sn的值就愈接近s，因此，当n，即t0时，sn的极限就是所求的自由落体运动在时间0，t内所经过的距离sgt2.