1、2.1.3余弦定理知识梳理余弦定理：(1)形式一：，形式二：，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）题型一 根据三角形的三边关系求角例1已知ABC中，sinAsinBsinC(1)(1)，求最大角. 解：k sinAsinBsinCabc(+1)(1)设a(1)k，b(1)k，ck (k0)则最大角为C.cosCC120.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最
2、大。题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形例2.在ABC中，=，=，且，是方程的两根，。（1） 求角C的度数；（2） 求的长；（3）求ABC的面积。解：(1) （2）因为，是方程的两根，所以 （3）评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。备选题 正、余弦定理的综合应用例3.在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。评析:从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定
3、理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.例3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，证明：。证明：由余弦定理知：，则，整理得: ，又由正弦定理得:， ， 评析：三角形中的证明，应充分利用正、余弦定理，三角函数的公式，在边、角关系中，明确证明思路，都化为边的关系或都化为角的关系。. 点击双基1在ABC中，若a=2, b=
4、2, c=+,则A的度数是 ( )(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75解：=，A=30答案：A2在ABC中，若则 ( )A B C D 解： 答案：B3. 在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形解：由2cosBsinA=sinC得a=c，a=b.答案：C4在ABC中，若，则_。解：，令 答案： 5. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A .解：由余弦定理可得，答案：课后作业1边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A B C D 解： 设中间角为，则为
5、所求答案：B2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形解：长为6的边所对角最大，设它为， 则 答案：A3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 解：设顶角为C，因为，由余弦定理得：答案：D4.在中，角A、B、C的对边分别为、，若，则角B的值为（ ）A. B. C.或D. 或解：由得即,又B为ABC的内角，所以B为或答案：D 5在ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）A B C D 解： ，为最大角，答案：C6. 在中，则三角形为（ ） A. 直角三角形B. 锐角三角形 C
6、. 等腰三角形D. 等边三角形解：由余弦定理可将原等式化为 答案：C7.的内角的对边分别为，若，则等于（ ）AB2CD解：由余弦定理得，6=a+2+aa=或-2（舍去）答案：D8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ ） A. 52B. C. 16D. 4 解：由题意得或2（舍去）答案：B二填空题9.ABC中，若，则A= 解：= A= 答案：10在ABC中，若则ABC的形状是_。解： 为最大角，为锐角答案：锐角三角形11在锐角ABC中，若，则边长的取值范围是_。解： 答案：三解答题12.在ABC中：(1)已知b8，c3，A60，求a；(2)已知a20，b
7、29，c21，求B；(3)已知a3，c2，B150，求b；(4)已知a2，b，c1，求A.解：(1)由a2b2c22bccosA得a28232283cos6049，a7.(2)由cosB得cosB0，B90.(3)由b2a2c22accosB得b2(3)222232cos15049，b7.(4)由cosA得cosA，A45.13在ABC中，求。解： ，而所以 14半径为R的圆外接于ABC，且2R(sin2A-sin2C)(a-b)sinB求角C；解：(1)2R(sin2A-sin2C)(ab)sinB2R()2-()2(a-b)a2-c2ab-b2cosC，C30w.w.w.k.s.5.u.c.o.m