1、DC图1OBADC图2OBA例谈初中学生数学思维方法的培养 广州市东环中学 郭玉娟 数学是一门培养人的思维的学科，义务教育数学课程标准对数学的教学要求是既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。无论是学生学习过程还是学生的解题都应该是在其已有知识背景下对数学思想方法的运用和再创造，这些数学思想也将成为学生在将来的工作和生活中的一种工具，而不仅仅是升学的一个途径。通过数学的学习解决实际问题，这就意味着教师在数学教学中不单是把学生看成知识的容器，更应该在教学中渗透数学思想和方法。下面借用几道例题来谈谈笔者如何在初中数学教学中
2、渗透数学思维方法。一、“分类思想”贯穿初中的数学学习 初一的学生最早接触的数学思想应该就是分类讨论思想，在七年级上册的第一章有理数中引入绝对值概念开始，学生开始接触分类思想解决问题，这种思想在初中数学学习中随处可见，贯穿着整个初中数学学习。如有理数、实数点绝对值概念，点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类；也有几何图形中位置不确定性的分类；等腰三角形顶点不确定性的分类；相似三角形对应关系不确定性的分类；应用题中也有需要分类讨论。这种数学思想的形成对于培养学生周密、系统考虑问题，拓宽思路也是很有帮助的。例1.在直线AB上取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OCOD，当AOC=30时，BOC
3、的度数是（）A.60 B.120 C.60或 90 D.60或 120 分析：这道题首先考察了学生动手作图的能力，许多学生在作图的时候往往能画出图 1 或图 2 中的某一种情况，而忽略了另一种情况，究其原因就是由于受限于题目中的“射线”二字，而忽略了射线所在的直线可以看成方向不同的射线。同时，这道题目的设置可以帮助学生更深刻的认识直线、射线的定义，了解这两种线的本质区别。例 2.某超市推出如下优惠方案（1）一次性购物不超过 100 元不享受优惠。（2）一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折.（3）一次性购物超过300 元一律 8 折。王波两次购物分别付款 80 元，252
4、 元。如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款多少元？分析：第一次购物显然没有超过 100 元，因为88.889.080=，所以第一次实际购物价值为 80 元，设第二次实际购物为 x 元，则 E图5CBADFE图4CBADE图3CBAD（i）若300 x，则2529.0=x，解 之 得：280=x，那 么 该 付 款288)80(8.0=+x元；（ii）若300 x，则2528.0=x，解 之 得：315=x，那 么 该 付 款316)80(8.0=+x元 二、利用“整体思想”化零为整 在解决某些数学问题时，将其中的一部分作为整体来考虑，得出结论，可以起到提高解题的效率和准确率，减少不必要
5、的计算的好处，因而“整体思想”在处理数与式的计算、方程、几何计算等方面有着广泛的应用。例 3.当1=x时，201113=+qxpx，求当1=x时，13+qxpx的值。分析：把1=x代入201113=+qxpx，得：20111=+qp，化简得：2010=+qp。把1=x代入13+qxpx，得：2009120101=+=+qp。例 4.如题，在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，求四边形 ABCD 的面积。分析：这是一个不规则的四边形，要求出它的面积就需要把它转变成规则的四边形或者三角形。利用图形之间的差的关系，求出该图形的面积。如图 3 所示，延长 AD、BC，相交
6、于点 E。QA=60，B=90 E=30,ECD=60 在 Rt ABE中，AB=2，A=60,则 BE=ABAtan=32 在 Rt CDE中，CD=1，ECD=60,则 DE=CDECDtan=3 DCDEBEABSSSECDABEABCD=2121四边形 312132221=233=本题除了可以补成一个直角三角形之外，还可以补成矩形或者直角梯形，如图 4、图 5。图6PCBA图7PCBA图8DCNBMAO 三、用“方程思想”化繁为简“方程思想”数学中常见的一种思想方法，即通过建立方程或者方程组来解决问题。“方程思想”在几何中运用恰当，能很好的简化纯几何的证明推理，使几何与代数的联系更加紧
7、密。“方程思想”在几何的计算问题中的运用是非常广泛的，如：余角、补角的计算；求多边形的边数或内角和；在直角三角形中勾股定理利方程求边长；等腰三角形中求边长；利用三角函数求边长或角度；相似三角形中求相似比或面积比等等。通过例方程，建立已知量和未知量之间的等量关系，使得解题的思路简洁而有序。例 5.如图 6 所示，ABC中，BP、CP 分别平分ABC和ACB，若nA=，求P 的大小。分析：Q BP、CP 分别平分ABC和ACB 设xCBPABP=，yBCPACP=则=+180yxP =+18022yxA 2：=1802AP，即+=+=902902nAP 变式 1：如图 7 所示，BP、CP 分别是
8、ABC和ACB的外角平分线，若nA=，求P 的大小。变式 2：如图 8，已知=90MON,若点 A、B 在射线 OM、ON 上移动，OBA的外角平分线与OAB的内角平分线相交于点 C，试猜想：随着 A、B 两点的移动，C的大小是否变化？说明理由。四、“数形结合思想”变抽象为具体“数形结合思想”可以让学生利用直观的图形解决抽象的数学问题，使原图9ab0本模糊不清的关系豁然开朗，让解题变得快捷而简便。这对于培养学生的创造性思维和丰富的联想很有好处，一直以来，都是数学学习中的基本和重要的一种思想方法。例 6.实数ba,在数轴上的位置如图 9 所示，化简：baab+2)(分析：由图得：0,0+abba
9、，原式=abaab2=五、“换元思想”化混沌为清晰 换元思想的实质是转化，其关键是构造元和设元，通过引进新的变量，使非标准问题标准化，混沌的条件清晰化。这种方法多运用在化高次为为低次、化分式为整式中。例 9.解方程6151=+xxxx 分析：根据观察方程的特点，可以设xxy1+=，则原方程变成65=+yy，去分母得：0562=+yy，解得：5,121=yy。当1=y时，11=+xx，此时方程无实数解；当5=y时，51=+xx方程的解为：41=x。经检验，41=x是原方程的解。综上所述，数学的思想方法的学习对学生来说非常重要，但它不可能在短时间内就完成，需要一个长期的时间，这就需要我们老师在日常的教学中潜移默化地教授，使得学生在平时的学习和练习中系统地把握。只有让学生掌握好了各种数学思想方法，并能在日常的学习和生活中自觉使用，才能更好的提高学生的数学素养和创新能力，从而培养学生的可持续发展能力。参考文献：1.义务教育数学课程标准2011 年版.北京师范大学出版社
