1、题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2022浙江,18)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(1)求sin(+)的值;(2)若角满足sin(+)=513,求cos 的值.2.(2022北京,理15)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.3.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan xsin2-xcosx-3-3.(1)求f(x)的定义
2、域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-4,4上的单调性.5.已知函数f(x)=3acos2x2+12asin x-32a(0,a0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且ABC是边长为4的正三角形.(1)求与a的值;(2)若f(x0)=835,且x0-103,23,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x0,2.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3,求x的值.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解 (1)由角的终边过点P-35,-
3、45,得sin =-45,所以sin(+)=-sin =45.(2)由角的终边过点P-35,-45,得cos =-35,由sin(+)=513,得cos(+)=1213.由=(+)-,得cos =cos(+)cos +sin(+)sin ,所以cos =-5665或cos =1665.2.解 (1)在ABC中,cos B=-,B2,sin B=1-cos2B=437.由正弦定理,得asinA=bsinB7sinA=8437,sin A=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=32-17+12437=3314.如图
4、所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sin C=hBC,h=BCsin C=73314=332,AC边上的高为332.3.解 (1)由题设得acsin B=a23sinA,即csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.来源:学|科|网(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33
5、.4.解 (1)f(x)的定义域为xx2+k,kZ.f(x)=4tan xcos xcosx-3-3=4sin xcosx-3-3=4sin x12cosx+32sinx-3=2sin xcos x+23sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,所以,f(x)的最小正周期T=22=.(2)令z=2x-3,函数y=2sin z的单调递增区间是-2+2k,2+2k,kZ.由-2+2k2x-32+2k,得-12+kx512+k,kZ.设A=-4,4,B=x-12+kx512+k,kZ,易知AB=-12,4.所以,当x-4,4时,f(x)
6、在区间-12,4上单调递增,在区间-4,-12上单调递减.5.解 (1)由已知可得f(x)=a32cosx+12sinx=asinx+3.BC=T2=4,T=8,=28=4.由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=32BC=23.(2)由(1)知f(x0)=23sin4x0+3=835,即sin4x0+3=45.x0-103,23,4x0+3-2,2,cos4x0+3=1-452=35,f(x0+1)=23sin4x0+4+3=23sin4x0+3+4=23sin4x0+3cos4+cos4x0+3sin4=234522+3522=765.6.解 (1)m=22,-22,n=(sin x,cos x),且mn,mn=22,-22(sin x,cos x)=22sin x-22cos x=sinx-4=0.又x0,2,x-4-4,4.x-4=0,即x=4.tan x=tan4=1.(2)由(1)和已知,得cos3=mn|m|n|=sinx-4222+-222sin2x+cos2x=sinx-4=12.又x-4-4,4,x-4=6,即x=512.
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