1、课时作业15导数与函数的极值、最值一、选择题1如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是(C)A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值解析：由题可知，f(x)在(3，)和(2,4)上为减函数，在(，2)和(4,5)上为增函数，所以A，B均错误，C正确；在x2处左增右减，x2是函数极大值点，D错误2已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a(D)A4 B2C4 D2解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(
2、x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，所以函数yx在(，0)，(0，)内单调递增，没有极值点函数y2|x|根据指数函数的图象与性质可得，当x0时，函数y2|x|单调递增，所以函数y2|x|在x0处取得极小值；函数y2x3x，则y6x210，当x时，y0，函数单调递增，当x时，函数取得极小值；故选BD5函数f(x)sinxx在区间0,1上的最小值为(D)A0 Bsin1C1 Dsin11解析：由题得f(x)cosx1，因为x0,1，所以f(x)0，所以函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)minf(1)sin11，故选D6若x1是函数f(x)ax2lnx的一个极值点，则当x时，f(x
3、)的最小值为(A)A1 BeC1 De21解析：由题意得f(1)0，f(x)2ax，f(1)2a10，a，f(x)x.当x时，f(x)0，当x1，e时，f(x)0，f(x)minmine21，故选A7已知函数f(x)ax2bxclnx(a0)在x1和x2处取得极值，且极大值为，则函数f(x)在区间(0,4上的最大值为(D)A0 BC2ln24 D4ln24解析：f(x)2axb(x0，a0)因为函数f(x)在x1和x2处取得极值，所以f(1)2abc0，f(2)4ab0.又a0，所以当0x2时，f(x)0，f(x)是增函数；当1x2时，f(x)2.由于f(x)axlna2xlna(ax1)ln
4、a2x，所以当x0时，f(x)0，所以函数f(x)在0,1上单调递增，则f(x)maxf(1)a1lna，f(x)minf(0)1，所以f(x)maxf(x)minalna，故a2alna，即lna2，解得ae2.9(多选题)已知函数f(x)xlnxx2，x0是函数f(x)的极值点下列选项正确的是(AC)A0x0Cf(x0)x00解析：因为f(x)xlnxx2，则f(x)lnx1x，所以f0，又当x0时，f(x)，所以0x0，故A正确，B错误；f(x0)x0x0lnx0xx0x0x0x0，解得x0，令f(x)0，解得2x0，则函数f(x)在区间(，2)和(0，)上单调递增，在区间(2,0)上单
5、调递减，函数f(x)的极大值为f(2)4e2.11已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值是4.解析：f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.12若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是.解析：函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解
6、，又x，所以2a0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)由f(x)alnxbx2(x0)，得f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)lnxx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1xe，f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，f(x)maxf(1).14已知函数f(x)ex(xaex)(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2(x10，可得x1，故f(x)在(1，)上单调递增同理可得f(x)在(，1)上单调递减故f(x)在
7、x1处有极小值，极小值为f(1).(2)依题意可得f(x)(x12aex)ex0有两个不同的实根设g(x)x12aex，则g(x)0有两个不同的实根x1，x2，g(x)12aex.若a0，则g(x)1，此时g(x)为增函数，故g(x)0至多有1个实根，不符合要求若a0，则当x0，当xln时，g(x)0，得0a.因为g(x)0的两个根分别为x1，x2(x1x2)，所以当xx1时，g(x)0，此时f(x)0；当x1x0，此时f(x)0；当xx2时，g(x)0，此时f(x)0.故x1为f(x)的极小值点，x2为f(x)的极大值点，0a符合要求综上所述，a的取值范围为0ae，且a2e2.又易知(x2)
8、(ex)0在x(1,2)上恒成立，即ex在x(1,2)上恒成立，即当x(1,2)时，y2的图象在y1ex图象的上方，所以所以a2e2.所以实数a的取值范围为(2e2，)16(2019北京卷)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x；(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解：(1)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f()，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明：令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.g(x)，g(x)的情况如下：x2(2,0)0(0，)(，4)4g(x)g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.