备战2021年高考数学一轮复习 易错题09 解析几何（含解析）.docx

1、易错点09解析几何 备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线.（ ）A. 若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n0，则C是圆，其半径为C. 若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行

2、于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为，抛物线焦点F坐标为，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所

3、以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.例3 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）.已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点

4、，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.【详解】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设点.因为AMAN，即,当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.代入椭圆方程消去并整理得： ,根据,代入整理可得： 将代入，整理化简得,不在直线上，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.代入得,结合,解得,此时直线MN过点, 由于AE为定值，且ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程

5、和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.【易错警示】易错点1忽视斜率不存在致误例1已知直线方程为3xmy60，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距【错解】由3xmy60，得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.【错因】忘记讨论当m0时，直线的斜率并不存在【正解】当m0时，直线可化为x2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；当m0时，可得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.易错点2.忽视截距为0致误例3求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为

6、0的直线方程【错解】设直线的方程为1.因为直线过点(2,4)，所以1，解得a2.故所求的直线方程为1，即xy20.【错因】直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解【正解】当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k2，直线的方程为y2x，即2xy0.故所求的直线方程为2xy0或xy20.易错点3.忽视隐含条件致错例3若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C：(x3m)2(y4m)225(m4)2相切，则点A在圆C的_(填“外部”、“内部”、“上面”)，m的取值范围是_【错解】因为过点A与圆

7、有两条切线，可见点A必在圆的外部因为点A在圆的外部，则有(43m)2(24m)225(m4)2，因此有240m380，解得m.故填外部，m0.【正解】因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部因为点A在圆的外部，则有(43m)2(24m)225(m4)2，因此有240m380，解得m0，所以m4，因此m的取值范围是m0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=A2B3C6D9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2【2020年高考全国卷理数】已知M：

8、，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为ABCD【答案】D【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，此时最小即，由解得，所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题3.【2020年高考全国卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为A B C D 【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定

9、，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.4【2020年高考全国卷理数】11.设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=A 1B 2C 4D 8【答案】A【解析】，根据双曲线的定义可得，即，即，解得，故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.5.【2020年高考全国卷理数】若过点（2，1）的圆与

10、两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为ABCD【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6【2020年高考全国卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为A4B8C16D32【答案】B【解析】

11、，双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，联立，解得，故，面积为：，双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：.故选：B【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为A B C D【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，

12、又双曲线的渐近线的方程为，所以，因为，解得故选：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题8【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A 4B 5C 6D 7【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.9【2020年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线A 经过点B 经过点C 平行于直线D 垂直于直线【答案】B【解析】如图所示

13、：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.10【2020年高考浙江】已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|PB|=2，且P为函数图象上的点，则|OP|=ABCD【答案】D【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题11【2020年新高考全国卷】已知

14、曲线.A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为 C若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12【2020年高考全国I卷理数】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且B

15、F垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题13【2020年高考天津】已知直线和圆相交于两点若，则的值为_【答案】5【解析】因为圆心到直线的距离，由可得，解得故答案为：【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题14【2020年高考北京】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_【答案】；【解析】在双曲线中，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，

16、即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.15【2020年高考浙江】已知直线与圆和圆均相切，则_，b=_【答案】；【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，所以，所以（舍）或者，解得.故答案为：【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.16【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 【答案】【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】

17、本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.17【2020年新高考全国卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_【答案】【解析】抛物线的方程为，抛物线的焦点F坐标为，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.18【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则PAB面积的最大值是 【答案】【解析】设圆

18、心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，因此当时，取最大值，即取最大值为，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.19【2020年高考全国卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【解析】（1）由题设得A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则，=（a，1）.由=8得a21=8，即a=3.所以E的方程为+y2=1（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t0，设直线CD的方程为x

19、=my+n，由题意可知3nb0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，故，设，则，故.由于的准线为，所以，而，故，代入得，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.21【2020年高考全国卷理数】已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方

20、程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积【解析】（1）由题设可得，得，所以的方程为.（2）设，根据对称性可设，由题意知，由已知可得，直线BP的方程为，所以，因为，所以，将代入的方程，解得或.由直线BP的方程得或8.所以点的坐标分别为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为.综上，的面积为.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22【2020年高考北京】已知椭圆过点，且（）求椭圆C的方程：（）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线

21、于点求的值【解析】 (1)设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且：，注意到：，而：，故.从而.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题23【2020年高考浙江】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B，M不同于A）（）若，求抛物线的焦点

22、坐标；（）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值【解析】（）由得的焦点坐标是（）由题意可设直线，点将直线的方程代入椭圆得，所以点的纵坐标将直线的方程代入抛物线得，所以，解得，因此由得，所以当，时，取到最大值【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.24【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小

23、值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则， 在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，则.所以直线 设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍. 由此得，则或.由得，此方程无解；由得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.25【2020年新高考全国卷】已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）

24、（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值【解析】（1）由题设得，解得，所以的方程为（2）设，若直线与轴不垂直，设直线的方程为，代入得于是由知，故，可得将代入上式可得整理得因为不在直线上，所以，故，于是的方程为.所以直线过点.若直线与轴垂直，可得.由得.又，可得.解得（舍去），.此时直线过点.令为的中点，即.若与不重合，则由题设知是的斜边，故.若与重合，则.综上，存在点，使得为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.26【202

25、0年新高考全国卷】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时AMN的面积取得最大值.联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以AMN的面积的最大值：.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题