1、易错点06 平面向量 备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的
2、定义式，属于简单题目.【易错警示】易错点1遗漏零向量【例1】 已知与平行，则值的个数是_【错解】由得，即，解之得（舍），的值只有一个【错因】零向量与任一向量平行，当时，为零向量，也与平行【正解】由得，解得，的值应有两个易错点2弄错两个向量的夹角【例2】 在中,则的值为 ( )A 20 B -20 C D 【错解】因为,则=20,故选A.【错因】弄错向量与的夹角【正解】由题意,故-20，选B.易错点3混淆向量与向量的模致误【例3】 两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的是()A 与为平行向量 B与为模相等的向量 C与为共线向量 D与
3、为相等向量【错解】由向量的基本概念知与方向相反，与是平行向量，即共线向量又两列火车所行路程相同，与的模相等与是模相等且方向相反的向量，即A错【错因】路程相同对应向量的模相等.【正解】由向量的基本概念知与方向相反，与是平行向量，即共线向量又两列火车所行路程相同，与的模相等与是模相等且方向相反的向量，即D错易错点4认为与的夹角为钝角（锐角）致错【例4】设平面向量 ，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A B C D【错解】由与的夹角为钝角，所以，即，解得，故选C【错因】忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况【正解】由与的夹角为钝角，所以，即，解得，又当与共线且反向时，得所以的取值范围是且，故选A
4、易错点5记错两个向量平行的坐标关系【例5】已知向量，若，则m . 【错解】 ，又， 得.【错因】把“若，则”错记成“”.【正解】，又，得.易错点6：不能将向量与三角函数进行联系【例6】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 【错解】以为邻边的平行四边形的面积为：，所以，【错因】忽视三角函数有界性应用致误【正解】以为邻边的平行四边形的面积为：，所以，又因为，所以，即且，所以易错点7：忽视向量的方向致误【例7】已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则()（A）点P在线段AB上 （B）点P在线段AB的反向延长线上（C）点P在线段AB的延长线上
5、（D）点P不在直线AB上【错解】因为，所以，所以点P在线段AB上，故选A.【错因】表示P点在AB的延长线上，而不是在AB上.【正解】因为，所以，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.【变式练习】1.已知中，则是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定【答案】C【解析】，所以，故选C2.若向量 ，与夹角为钝角，则的取值范围是_.【答案】【解析】因与的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由与共线且反向可得 (2)由(1),(2)得的范围是3.设向量，则是的（ ）条件A充要 B必要不充分 C充分不必要 D既不充分也不必要【答案】C【解析】若则，若，有可能或为0，故选C4如图
6、所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】故选：5已知向量，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，即，则，即都不正确，即答案A，B ，C都不正确而，则，应选答案D6在边长为的等边中，点满足，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得，即，则.故选：C.7已知与的夹角为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由，两边平方可得，又因为与的夹角为，所以，所以，解得.故选：D8已知向量，则的最大值为（ ）A1BC3D9【答案】C【解析】因为 ，所以当时，取得最大值.9已知向量，若向量与的夹角为，则实数（）ABCD【答案】B【解析】由题意得：，解得：本题正
7、确选项：10设向量，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为与的夹角为锐角，所以，即，解得.当与同向时，设（），则，所以，解得，从而且. 故选：C11中，的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是（ ）A12B10C8D不是定值【答案】A【解析】如图，取中点D，中点E，连接，则：，；.故选:A12如图,半径为的扇形的圆心角为,点在上,且,若,则( )ABCD【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系，即，即，又，解得，故选A.13在中，已知，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】中设，即，根据直角三角形可得，以所在的直线为x轴，以所
8、在的直线为y轴建立直角坐标系可得，P为直线上的一点，则存在实数使得,设，则，,，则,故所求的最小值为,故选：D.【真题演练】1【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满足，则A B C D 【答案】D【解析】，.，因此，.故选：D【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.2【2020年新高考全国卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A B C D【答案】A【解析】如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的
9、投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.3【2020年高考全国卷理数】设为单位向量，且，则_.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.4【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转
10、化能力和计算求解能力.5【2020年高考天津】如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】(1). ；(2). 【解析】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.6【2020年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满足，则_；_【答案；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.【点睛】本题考
11、查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.7【2020年高考浙江】已知平面单位向量，满足设，向量，的夹角为，则的最小值是_【答案】【解析】，.故答案为：.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.8【2020年高考江苏】在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 【答案】【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时， ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出
