1、选修4-5 不等式选进第二节不等式的证明选修4-5 不等式选进 主干知识梳理 一、比较法1求差比较法：知道abab0，abab0，因此要证明ab，只要证明即可，这种方法称为求差比较法ab0选修4-5 不等式选进2求商比较法：由 ab0ab1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明ab1 即可，这种方法称为求商比较法选修4-5 不等式选进二、分析法 从所要证明的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法结论选修4-5 不等式选进三、综合法 从已知条件出发，利用定义、公
2、理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法选修4-5 不等式选进四、放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法选修4-5 不等式选进五、反证法的步骤1作出否定的假设；2进行推理，导出；3否定，肯定结论矛盾假设结论选修4-5 不等式选进六、柯西不等式的二维形式1柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则(a21a22)(b21b22)(当且仅当 a1b2a2b1 时，等号成立)2柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|.3二维形式的
3、三角不等式：设 x1，y1，x2，y2R，那么 x21y21x22y22x1x22y1y22(a1b1a2b2)2选修4-5 不等式选进七、柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，an，b1，b2，bn 为实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2.八、基本不等式的一般形式 a1a2annn a1a2an.(a1，a2，anR)选修4-5 不等式选进基础自测自评1(教材习题改编)若 x1，则函数 yx1x 16xx21的最小值为_解析 yx1x 16xx21x1x 16x1x2 168，当且仅当 x2 3时等号成立答案 8选修4-5
4、不等式选进2(教材习题改编)已知 a，b 是不相等的正数，x a b2，yab2.则 x，y 的大小关系是_解析 x214(a b)214(ab2 ab)y212(ab)14(abab)14(ab2 ab)又 x0，y0，且 xy，y2x2，yx.答案 yx选修4-5 不等式选进3已知 a，b，cR，则1a1b1c与 1ab 1bc 1ac的大小关系是_解析 因为1a1b2 1ab，1b1c2 1bc，1a1c2 1ab，三式相加可得1a1b1c 1ab 1bc 1ac答案 1a1b1c 1ab 1bc 1ac.选修4-5 不等式选进4已知关于 x 的不等式 x 4xa3，在 x(a，)上恒成
5、立，则实数 a 的最小值为_解析 x 4xaxa 4xaa2 4a4a，a43，a1.答案 1选修4-5 不等式选进5A1 12 13 1n与 n(nN*)的大小关系为_解析 当 n1 时，A n，当 n1 时，A1 12 13 1n综上可知，An.答案 An选修4-5 不等式选进关键要点点拨1综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，用分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程选修4-5 不等式选进2放缩法证明不等式的主要理论依据(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母
6、)异分母(分子)的两个分式大小的比较注意 放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出选修4-5 不等式选进3柯西不等式的形式特点从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”.选修4-5 不等式选进典题导入(2014唐山模拟)已知 f(x)|x1|x1|，不等式 f(x)4 的解集为 M.(1)求 M；(2)当 a，bM 时，证明：2|ab|4ab|.比较法证明不等式 选修4-5 不等式选进听课记录(1)f(x)|x1|x1|2x，x1.当 x1 时，由2x4，得
7、2x1；当1x1 时，f(x)21 时，由 2x4，得 1x2.所以 M(2,2)选修4-5 不等式选进(2)证明：a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|b0 时，ab1，ab2 0，则abab2 1.选修4-5 不等式选进当 ba0 时，0ab1，ab2 1.综上可知，当 a，b(0，)时，aabb(ab)ab2 成立选修4-5 不等式选进典题导入(1)(2014南通模拟)已知 x，y 均为正数，且 xy，求证：2x1x22xyy22y3；(2)设 a，b，c0 且 abbcc
8、a1，求证：abc3.综合法、分析法证明不等式 选修4-5 不等式选进听课记录(1)因为 x0，y0，xy0，2x1x22xyy22y2(xy)1xy2(xy)(xy)1xy23 3xy21xy23，所以 2x1x22xyy22y3.选修4-5 不等式选进(2)因为 a，b，c0，所以要证 abc3，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而 abbccaa2b22b2c22c2a22选修4-5 不等式选进a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立原不等式成立
9、选修4-5 不等式选进互动探究在本例(2)的条件下证明：abcbaccab 3(a b c)证明 abcbaccababcabc，又本例(2)已证 abc3，只需证明 1abcabc，即证明 a bcb acc ababbcca，选修4-5 不等式选进而 a bc abacabac2，b acabbc2，c abacbc2，a bcb acc ababbcca 成立，原不等式成立选修4-5 不等式选进规律方法分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步
10、必须可逆选修4-5 不等式选进跟踪训练2设 a，b，c 均为正数，求证：12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab.证明 a，b，c 均为正数，1212a 12b 12 ab 1ab，当 ab 时等号成立；1212b 12c 12 bc 1bc，当 bc 时等号成立；1212c 12a 12 ca 1ca，当 ac 时等号成立选修4-5 不等式选进三个不等式相加即得 12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab，当且仅当 abc 时等号成立选修4-5 不等式选进典题导入(2012江苏高考)已知实数 x，y 满足：|xy|13，|2xy|16，求证：|y|518.放缩法证明不等式 选修4-
11、5 不等式选进听课记录 因为 3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|13，|2xy|16，从而 3|y|231656，所以|y|518.选修4-5 不等式选进规律方法1在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如 1k21kk1，1k21kk1，1k2k k1，1k2k k1.上面不等式中 kN*，k1；(2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若 0ab，m0，则abambm”选修4-5 不等式选进2在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度选修4-5 不等式选进跟踪训练3若 a，bR，求证：|a
12、b|1|ab|a|1|a|b|1|b|.证明 当|ab|0 时，不等式显然成立当|ab|0 时，由 0|ab|a|b|1|ab|1|a|b|，所以|ab|1|ab|11|ab|1111|a|b|a|b|1|a|b|a|1|a|b|1|b|.选修4-5 不等式选进典题导入(2012福建高考)已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR，且1a 12b 13cm，求证：a2b3c9.柯西不等式及应用 选修4-5 不等式选进听课记录(1)因为 f(x2)m|x|，f(x2)0 等价于|x|m，由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|
13、mxm又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)知1a 12b 13c1，又 a，b，cR，由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c)1a 12b 13c a 1a 2b 12b 3c 13c29.选修4-5 不等式选进规律方法1使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明2利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21a22a2n)1a211a22 1a2n(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件选修4-5 不等式选进跟踪训练4已知 x，y，z 均为实
14、数，(1)若 xyz1，求证：3x1 3y2 3z33 3；(2)若 x2y3z6，求 x2y2z2 的最小值选修4-5 不等式选进解析(1)证明：因为(3x13y23z3)2(121212)(3x13y23z3)27.所以 3x1 3y2 3z33 3.当且仅当 x23，y13，z0 时取等号选修4-5 不等式选进(2)因为(122232)(x2y2z2)(x2y3z)236，即 14(x2y2z2)36，x2y2z2187，当且仅当 x37，y67，z97时取等号所以 x2y2z2 的最小值为187.选修4-5 不等式选进【创新探究】证明不等式的基本方法(2013新课标全国高考)设 a，b
15、，c 均为正数，且 abc1.证明：(1)abbcca13；(2)a2b b2c c2a1.选修4-5 不等式选进【证明】(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得 a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.【思路导析】(1)运用重要不等式进行转化求解；(2)运用均值不等式求解，还要注意“1”的整体代换选修4-5 不等式选进(2)因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2
16、a1.选修4-5 不等式选进【高手支招】证明不等式的基本方法(1)证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法比较法常用作差比较法和作商比较法两种用综合法证明不等式时，主要是运用平均值不等式证明，一方面要注意平均值不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单，条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程选修4-5 不等式选进(2)不等式证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的
17、单调性法、判别式法、数形结合法换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考察有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法存在性、唯一性等问题或题目中带有“至少有一个”“至多有一个”“不能都”等字样的问题，都可以用反证法选修4-5 不等式选进 体验高考1(2013湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解 析 由 柯 西 不 等 式，得(a2 4b2 9c2)(12 12 12)(a12b13c1)236，故a24b29c212.从而a24b29c2的最小值为12.答案 12选修4-5 不等式选进2(2013湖北高考)设 x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z 14，则 xyz_.解析 由柯西不等式得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2，即 a24b29c212，当 a2b3c2 时等号成立，所以 a24b29c2 的最小值为 12.答案 12
