1、第三章 指数函数和对数函数1正整数指数函数知识点一正整数指数函数 填一填1正整数指数函数一般地，函数yax(a0，a1，xN)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，正整数指数函数的定义域为正整数集N.答一答1如何正确理解正整数指数函数的定义？提示：(1)正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量xN，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数要注意正整数指数函数yax(a0，a1，xN)与幂函数yx的区别(2)在正整数指数函数的定义中，为什么要规定底数a是一个大于零且不等于1的常数？这是因为，若a0或a1，则对于任意的xN，都有ax0或ax1，这时，ax是一个常量，没有
2、研究的必要；若a0且a1，xN)，当a1时，函数图像是上升的，当0a0，a1，m，nN)(1)amanamn；(2)amanamn；(3)(am)namn；(4)(ab)mambm；(5)()m(b0)答一答2为什么正整数指数函数的图像不是曲线？提示：这是因为正整数指数函数的定义域是正整数集N，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来也就是说，正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成，而不是曲线对正整数指数幂的运算法则的说明：为了保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m，n都是正整数，且法则(2)中限定mn.为了取消mn的限制，我们定义了零指数幂和负
3、整数指数幂：a01(a0)；an(nN，a0)在引入了负整数指数幂后，法则(2)可归入法则(1)同时，指数的范围也从正整数扩大到了整数注意：由于零指数幂和负整数指数幂都要求底数不等于零，因而，对于整数指数幂而言，也要求底数不等于零，主要是为了对性质的合理推广类型一正整数指数函数的概念 【例1】若xN，判断下列函数是否是正整数指数函数(1)y(9)x；(2)yx4；(3)y；(4)yx；(5)y(3)x.【思路探究】根据正整数指数函数的解析式yax(a0，a1，xN)的特征来判断【解】(1)因为y(9)x的底数9小于0，所以y(9)x(xN)不是正整数指数函数(2)因为yx4中自变量x在底数位置
4、上，所以yx4(xN)不是正整数指数函数(3)y2x.因为2x的系数不是1，所以y(xN)不是正整数指数函数(4)yx(xN)是正整数指数函数(5)y(3)x(xN)是正整数指数函数规律方法 判断一个函数是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax的系数必须是1，自变量xN，且x在指数位置上，底数a0，a1.已知函数y(m23m1)(m1)x(xN)是正整数指数函数，求实数m的值解：由题意得m23m11，解得m0或m3.又底数m10，且m11，m1，且m0，m3.类型二正整数指数函数的图像和性质 【例2】(1)画出函数y()x(xN)的图像，并说明函数的单调性；(2)
5、画出函数y3x(xN)的图像，并说明函数的单调性【思路探究】根据函数关系式作函数图像，一定要注意定义域的范围，这是解决此类问题易忽略的地方【解】(1)函数y()x(xN)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y()x(xN)是单调递减的(2)函数y3x(xN)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y3x(xN)是单调递增的规律方法 正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的当0a1时，函数yax(xN)是增函数画出函数yx(xN)的图像，并说明函数的单调性和值域解：列表：x123456y描点，如下图观察图像，可知函数yx(xN)是减函数，值域为.类型三利用正整数指数函数的单调性解不等式 【例3
6、】解下列不等式：(1)4x232x(xN)；(2)0.30.4x232x知，22x232x，所以2x32x，则x，xN.故不等式的解集为x|x，且xN(2)由0.30.4x0.20.6x，得，即()x1，xN，故不等式的解集为x|x1，且xN规律方法 由正整数指数函数的性质：yax(a0，a1，xN)是增函数，得a1；yax(a0，a1，xN)是减函数，得0a”或“”填空)(1)1.58190.52 013.解析：由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数的指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小(1)考虑正整数指数函数y1.58x，xN.1.581，y1.58x在
7、N上是增函数又1920，1.58191.5820.(2)考虑正整数指数函数y0.5x，xN.00.51，y0.5x在N上是减函数又2 0120.52 013.规范解答利用正整数指数函数解决实际问题【例4】某林区2012年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数yf(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米【尝试解答】(1)2012年的木材蓄积量为200万立方米；经过1年后木材蓄积量为2002005
8、%200(15%)；经过2年后木材蓄积量为200(15%)200(15%)5%200(15%)2.经过x年后木材蓄积量为200(15%)x.yf(x)200(15%)x.x以年为单位，函数的定义域为xN.(2)作函数yf(x)200(15%)x(xN)的图像，如图x01234y200210220.5231.5243.1作直线y300，与函数y200(15%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值8x00且a1，xN)的图像过点(5,32)，则f(8)256.解析：由题意，得a532，a2.f(x)2x
9、.f(8)28256.三、解答题6农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资性收入为7 800元，其他收入为5 350元)预计该地区自2016年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元根据以上数据，求2020年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.0641.26，1.0651.34，1.0661.42)解：本题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7 800(16%)57 8001.06510 452(元)，二是其他收入即5 35051606 150(元)，农民人均收入为10 4526 15016 602(元)答：2020年该地区农民人均收入约为16 602元