1、图形的相似与位似 一、选择题 1（2018山东枣庄3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（）A B C D【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：过点 F 作 FGAB 于点 G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF 平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，C
2、E=CF，AF 平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，=，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4，=，FC=FG，=，解得：FC=，即 CE 的长为 故选：A 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE 2 （2018山东滨州3 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A（5，1）B（
3、4，3）C（3，4）D（1，5）【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标【解答】解：以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8），端点 C 的坐标为（3，4）故选：C【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键 3（2018江苏扬州3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 RtABC 和等腰 RtADE，CD 与BE、AE 分别交于点 P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2
4、CB2=CPCM其中正确的是（）A B C D【分析】（1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD 即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE BAC=EAD BAE=CAD BAECAD 所以正确 BAECAD BEA=CDA PME=AMD PMEAMD MPMD=MAME 所以正确 BEA=CDA PME=AMD P、E、D、A 四点共圆 APD=EAD=90 CAE=180BACEAD=90 CAPCMA AC2=CPCM AC=AB 2CB2=CPCM 所以正确
5、 故选：A【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案 4（2018山东临沂3 分）如图利用标杆 BE 测量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.2m，测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物 CD 的高是（）A9.3m B10.5m C12.4m D14m【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出 CD即可【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故选：B【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺
6、的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度 5（2018山东潍坊3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（）A（2m，2n）B（2m，2n）或（2m，2n）C（m，n）D（m，n）或（m，n）【分析】根据位似变换的性质计算即可【解答】解：点 P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（m2，n2）或（m（2），n（2），即（2m，2n）或（2m，2n），故选：B【
7、点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 6.（2018湖南省永州市4 分）如图，在ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为（）A2 B4 C6 D8【分析】只要证明ADCACB，可得=，即 AC2=ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADCACB，=，AC2=ADAB=28=16，AC0，AC=4，故选：B【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考
8、题型 7（2018四川宜宾3 分）如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4若 AA=1，则 AD 等于（）A2 B3 C D【考点】Q2：平移的性质【分析】由 SABC=9、SAEF=4 且 AD 为 BC 边的中线知 SADE=SAEF=2，SABD=SABC=，根据DAEDAB 知（）2=，据此求解可得【解答】解：如图，SABC=9、SAEF=4，且 AD 为 BC 边的中线，SADE=SAEF=2，SABD=SABC=，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则（）2=，即（
9、）2=，解得 AD=2 或 AD=（舍），故选：A【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点 8（2018四川自贡4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若ADE 的面积为 4，则ABC 的面积为（）A8 B12 C14 D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE 的面积为 4，ABC 的面积为：16，故选：D【点评】此题主
10、要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出ADEABC 是解题关键 9（2018台湾分）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为 9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A只使用苹果 B只使用芭乐 C使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多 D使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可
11、得出结论【解答】解：苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为 9：7：6，设苹果为 9x 颗，芭乐 7x 颗，铆钉 6x 颗（x 是正整数），小柔榨果汁时没有使用柳丁，设小柔榨完果汁后，苹果 a 颗，芭乐 b 颗，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为 6：3：4，a=9x，b=x，苹果的用量为 9xa=9x9x=0，芭乐的用量为 7xb=7xx=x0，她榨果汁时，只用了芭乐，故选：B【点评】此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和芭乐的数量是解本题的关键 10（2018台湾分）如图，ABC、FGH 中，D、E 两点分别在 AB、AC 上，F 点在 DE
12、 上，G、H 两点在BC 上，且 DEBC，FGAB，FHAC，若 BG：GH：HC=4：6：5，则ADE 与FGH 的面积比为何？（）A2：1 B3：2 C5：2 D9：4【分析】只要证明ADEFGH，可得=（）2，由此即可解决问题；【解答】解：BG：GH：HC=4：6：5，可以假设 BG=4k，GH=6k，HC=5k，DEBC，FGAB，FHAC，四边形 BGFD 是平行四边形，四边形 EFHC 是平行四边形，DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，FGH=B=ADE，FHG=C=AED，ADEFGH，=（）2=（）2=故选：D【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平
13、行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 11（2018湖北荆门3 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF、BE交于点 G，则 SEFG：SABG=（）A1：3 B3：1 C1：9 D9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB，CDAB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，EFGBAG，=（）2=，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 12（
14、2018湖北恩施3 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（）A6 B8 C10 D12【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由 CGAB、AB=2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF，=
15、2，AF=2GF=4，AG=6 CGAB，AB=2CG，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键 13.（2018浙江临安3 分）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）A B C D【考点】相似三角形的判定，【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135，A、C、D 图形中的钝角都不等于 135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图
16、形 B 中的边长分别为 1 和，=，图 B 中的三角形（阴影部分）与ABC 相似，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键 14（2018浙江临安3 分）如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若 AD=4，DB=2，则 DE：BC 的值为（）A B C D【考点】相似三角形的判定和相似三角形的性质【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DEBC，ADEABC，=故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定
17、和相似三角形的性质，对应边不要搞错 15（2018重庆(A)4 分）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为 A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 【考点】相似三角形的性质【解析】利用相似三角形三边对应成比例解出即可。【解答】解：设所求最长边为 xcm两三角形相似，2.559x,.4.5x 故选 C【点评】此题主要考查相似三角形的性质相似三角形的三边对应成比例，该题属于中考当中的基础题。16（2018广东3 分）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC
18、的面积之比为（）A B C D【分析】由点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，可得出 DE 为ABC 的中位线，进而可得出 DEBC 及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比【解答】解：点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，DEBC，ADEABC，=（）2=故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出 DEBC 是解题的关键 17（2018 年四川省内江市）已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为（）A1：1 B1：3 C1：6
19、 D1：9【考点】S7：相似三角形的性质【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为 1：9，故选：D【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 二.填空题 1（2018 年四川省南充市）如图，在ABC 中，DEBC，BF 平分ABC，交 DE 的延长线于点 F若 AD=1，BD=2，BC=4，则 EF=【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可【
20、解答】解：DEBC，F=FBC，BF 平分ABC，DBF=FBC，F=DBF，DB=DF，DEBC，ADEABC，即，解得：DE=，DF=DB=2，EF=DFDE=2，故答案为：【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由 DEBC 可得出ADEABC 2(2018 四川省绵阳市)如图，在ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE,AD 垂直相交于点 O，则AB=_.【答案】【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接 DE，AD、BE 为三角形中线，DEAB，DE=AB，DOEAOB，=，设 OD=x，OE=y，OA=2x，O
21、B=2y,在 RtBOD 中，x2+4y 2=4 ，在 RtAOE 中，4x2+y2=，+得：5x2+5y2=，x2+y2=，在 RtAOB 中，AB2=4x2+4y2=4（x2+y 2）=4，即 AB=.故答案为：.【分析】连接 DE，根据三角形中位线性质得 DEAB，DE=AB，从而得DOEAOB，根据相似三角形的性质可得=；设 OD=x，OE=y，从而可知 OA=2x，OB=2y,根据勾股定理可得 x2+4y2=4，4x2+y2=，两式相加可得 x2+y2=，在 RtAOB 中，由股股定理可得 AB=.3（2018广东广州3 分）如图 9，CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直
22、平分线，垂足为点 O，CE 与 DA 的延长线交于点 E，连接 AC，BE，DO，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论：四边形 ACBE 是菱形；ACD=BAE AF：BE=2：3 其中正确的结论有_。（填写所有正确结论的序号）【答案】【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，OAE=OBC，AOEBOC（ASA），AE=BC，AE=BE=CA=CB，四边形 ACBE 是菱形，故正确
23、.由四边形 ACBE 是菱形，AB 平分CAE，CAO=BAE，又四边形 ABCD 是平行四边形，BACD，CAO=ACD，ACD=BAE.故正确.CE 垂直平分线 AB，O 为 AB 中点，又四边形 ABCD 是平行四边形，BACD，AO=AB=CD，AFOCFD，=，AF:AC=1:3,AC=BE，AF:BE=1:3,故错误.CDOC,由知 AF:AC=1:3,=CDOC=,=+=,故正确.故答案为：.【分析】根据平行四边形和垂直平分线的性质得 AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，根据ASA 得AOEBOC，由全等三角形性质得 AE=CB，根据四边相等的四边
24、形是菱形得出正确.由菱形性质得CAO=BAE，根据平行四边形的性质得 BACD，再由平行线的性质得CAO=ACD，等量代换得ACD=BAE；故正确.根据平行四边形和垂直平分线的性质得 BACD，AO=AB=CD，从而得AFOCFD，由相似三角形性质得=，从而得出 AF:AC=1:3,即 AF:BE=1:3,故错误.由 三 角 形 面 积 公 式 得 CDOC,从 知 AF:AC=1:3,所 以=+=,从而得出 故正确.4（2018广东深圳3 分）在 RtABC 中C=90，AD 平分CAB,BE 平分CBA,AD、BE 相交于点 F，且AF=4,EF=,则 AC=_【答案】【考点】勾股定理，相
25、似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：作 EGAF，连接 CF，C=90，CAB+CBA=90，又AD 平分CAB,BE 平分CBA,FAB+FBA=45，AFE=45，在 RtEGF 中，EF=,AFE=45，EG=FG=1，又AF=4,AG=3,AE=，AD 平分CAB,BE 平分CBA,CF 平分ACB,ACF=45，AFE=ACF=45，FAE=CAF，AEFAFC，,即,AC=.故答案为：.【分析】作 EGAF，连接 CF，根据三角形内角和和角平分线定义得FAB+FBA=45，再由三角形外角性质得AFE=45，在 RtEGF 中，根据勾股定理得 EG=FG=1，结合已知条件得 A
26、G=3,在 RtAEG 中，根据勾股定理得 AE=；由已知得 F 是三角形角平分线的交点，所以 CF 平分ACB,ACF=45，根据相似三角形的判定和性质得,从而求出 AC 的长.5（2018四川宜宾3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将CBE 沿 CE折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当 E 为线段 AB 中点时，AFCE；当 E 为线段 AB 中点时，AF=；当 A、F、C 三点共线时，AE=；当 A、F、C 三点共线时，CEFAEF 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判
27、定；LB：矩形的性质【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图 1 中，当 AE=EB 时，AE=EB=EF，EAF=EFA，CEF=CEB，BEF=EAF+EFA，BEC=EAF，AFEC，故正确，作 EMAF，则 AM=FM，在 RtECB 中，EC=，AME=B=90，EAM=CEB，CEBEAM，=，=，AM=，AF=2AM=，故正确，如图 2 中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x 则 EB=EF=3x，AF=2，在 RtAEF 中，AE2=AF2+EF2，x2=（2）2+（3x）2，x=，AE=，故正确，如果，CEFAEF，则EAF=ECF=ECB=30，显然不符合
28、题意，故错误，故答案为【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 6（2018山东泰安3 分）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木（即点 D 在直线
29、 AC 上）？请你计算 KC 的长为 步 【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出 CK 的长【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDKDAH，=，即=，CK=答：KC 的长为步 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度 7.（2018山东滨州5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、CD 上，若 AE=，EAF=45，则 AF 的长为 【分析】取 AB 的中点 M，连接 ME，在
30、 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则 NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明AMEFNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出 x 的值，在直角三角形 ADF中利用勾股定理即可求出 AF 的长【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，四边形 ABCD 是矩形，D=BAD=B=90，AD=BC=4，NF=x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE=，AB=2，BE=1，ME=，EAF=45，MAE+NAF=45，MAE+AEM=45，MEA=NAF，AMEFNA，解得：x=，AF=故答案为：【点评】本题考查了矩形的
31、性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，8（2018山东菏泽3 分）如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，OCD=90，AOB=60，若点 B 的坐标是（6，0），则点 C 的坐标是（2，2）【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质【分析】根据题意得出 D 点坐标，再解直角三角形进而得出答案【解答】解：分别过 A 作 AEOB，CFOB，OCD=90，AOB=60，ABO=CDO=30，OCF=30，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，点 B 的坐标是（6，0），D（8
32、，0），则 DO=8，故 OC=4，则 FO=2，CF=COcos30=4=2，故点 C 的坐标是：（2，2）故答案为：（2，2）【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键 9（2018四川成都3 分）已知，且，则的值为_ 【答案】12 【考点】解一元一次方程，比例的性质 【解析】【解答】解：设 则 a=6k，b=5k，c=4k 6k+5k-8k=6，解之：k=2 a=62=12 故答案为：12【分析】设，分别用含 k 的式子表示出 a、b、c 的值，再根据，建立关于k 的方程，求出 k 的值，就可得出 a 的值。10（2018四川凉州3 分）已知ABCABC
33、且 SABC：SABC=1：2，则 AB：AB=1：【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可【解答】解：ABCABC，SABC：SABC=AB2：AB2=1：2，AB：AB=1：【点评】本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方 三.解答题(要求同上一)1.（2018四川凉州7 分）如图，ABC 在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A（2，3），C（6，2），并求出 B 点坐标；（2）以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放大后的图形ABC；（3）计算ABC的面积 S 【分析】（1）直接利用 A，C 点坐标得出原点位置进而得
34、出答案；（2）利用位似图形的性质即可得出ABC；（3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可【解答】解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B（2，1）；（2）如图：ABC即为所求；（3）SABC=48=16【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和关键点；根据位似比，确定位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 2.（2018山东枣庄8 分）如图，在 RtACB 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 BC 为直径作O 交 AB于点 D（1）求线段 AD 的长度；（2）
35、点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线 ED 与O 相切？请说明理由 【分析】（1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CDAB，易知ACDABC，可得关于 AC、AD、AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长（2）当 ED 与O 相切时，由切线长定理知 EC=ED，则ECD=EDC，那么A 和DEC 就是等角的余角，由此可证得 AE=DE，即 E 是 AC 的中点在证明时，可连接 OD，证 ODDE 即可【解答】解：（1）在 RtACB 中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；连接 CD，BC 为直径，ADC=BDC=9
36、0；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB；，；（2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切；证明：连接 OD，DE 是 RtADC 的中线；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED 与O 相切 【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识 3（2018山东枣庄10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EGCD交 AF 于点 G，连接 DG（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；（2）探究线段
37、 EG、GF、AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6，EG=2，求 BE 的长 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGF=DFG，从而得到 GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=EF；（2）连接 DE，交 AF 于点 O由菱形的性质可知 GFDE，OG=OF=GF，接下来，证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明 DF2=FOAF，于是可得到 GE、AF、FG 的数量关系；（3）过点 G 作 GHDC，垂足为 H利用（2）的结论可求得 FG=4，然后再ADF 中依据勾股定理可求得 AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得 G
38、H 的长，最后依据 BE=ADGH 求解即可【解答】解：（1）证明：GEDF，EGF=DFG 由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFG GD=DF DG=GE=DF=EF 四边形 EFDG 为菱形（2）EG2=GFAF 理由：如图 1 所示：连接 DE，交 AF 于点 O 四边形 EFDG 为菱形，GFDE，OG=OF=GF DOF=ADF=90，OFD=DFA，DOFADF，即 DF2=FOAF FO=GF，DF=EG，EG2=GFAF（3）如图 2 所示：过点 G 作 GHDC，垂足为 H EG2=GFAF，AG=6，EG=2，20=FG（FG+6），整理得
39、：FG2+6FG40=0 解得：FG=4，FG=10（舍去）DF=GE=2，AF=10，AD=4 GHDC，ADDC，GHAD FGHFAD，即=GH=BE=ADGH=4=【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到 DF2=FOAF 是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题（3）的关键 4.（2018四川成都8 分）如图，在 中，平分 交 于点，为 上一 点，经过 点，的 分 别交 ，于点 ，连 接 交 于点.（1）求证：是 的切线；（2）设，
40、试用含 的代数式表示线段 的长；（3）若，求 的长.【答案】（1）如图，链接 CD AD 为BAC 的角平分线，BAD=CAD.OA=OD，ODA=OAD，ODA=CAD.ODAC.又C=90，ODC=90，ODBC，BC 是O 的切线.（2）连接 DF，由（1）可知，BC 为切线，FDC=DAF.CDA=CFD.AFD=ADB.又BAD=DAF，ABDADF,AD2=ABAF.AD2=xy,AD=（3）连接 EF 在 RtBOD 中，sinB=,设圆的半径为 r，r=5.AE=10,AB=18.AE 是直径，AFE=90,而C=90，EFBC,AEF=B,sinAEF=.AF=AEsinAE
41、F=10=.AFOD,DG=AD.AD=,DG=【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【分析】（1）连接 OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明ODC=90即可。(2)连接 DF，DE，根据圆的切线，可证得FDC=DAF，再证CDA=CFD=AED，根据平角的定义可证得AFD=ADB，从而可证得ABDABF，得出对应边成比例，可得出答案。（3）连接 EF，在 RtBOD 中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB 的长，再证明 EFBC，得出B=AEF，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，再根据 AFOD，得出线段成比例，求出 DG 的长，
42、然后可求出 AD 的长，从而可求得 DG 的长。5（2018江西6 分）如图，在中，=8，=4,=6,是的平分线，交于点,求的长.EDACB【解析】BD 是ABC 的平分线，ABD=CBD CDAB ABD=D CBD=D CD=BC=4 又CDAB ABECDE =CE+AE=AC=6 AE=4 6（2018湖北省宜昌11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点B 的对应点是点 G，过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：AEBDEC；（2）如图 2
43、，求证：BP=BF；当 AD=25，且 AEDE 时，求 cosPCB 的值；当 BP=9 时，求 BEEF 的值 【分析】（1）先判断出A=D=90，AB=DC 再判断出 AE=DE，即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGC=PBC=90，BPC=GPC，进而判断出GPF=PFB 即可得出结论；判断出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9，DE=16，再判断出ECFGCP，进而求出 PC，即可得出结论；判断出GEFEAB，即可得出结论【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，A=D=90，AB=DC，E 是 AD 中点，AE=DE，在ABE 和DCE 中，ABEDCE（S
44、AS）；（2）在矩形 ABCD，ABC=90，BPC 沿 PC 折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当 AD=25 时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，设 AE=x，DE=25x，x=9 或 x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，设 BP=BF=PG=y，y=，BP=，在 RtPBC 中，PC=，cosPCB=；如图，连接 FG，GEF=BAE=90，B
45、FPG，BF=PG，BPGF 是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=129=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键 7（2018湖北省武汉10 分）在ABC 中，ABC=90（1）如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：ABMBCN；（2）如图 2，P 是边 BC 上一点，BAP=C，tanPAC=，求 tanC 的值；（3）如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE=AB，DEB=90，sinBAC=，直
46、接写出 tanCEB的值 【分析】（1）利用同角的余角相等判断出BAM=CBN，即可得出结论；（2）先判断出ABPPQF，得出=，再判断出ABPCQF，得出 CQ=2a，进而建立方程用 b 表示出 a，即可得出结论；（3）先判断出=，再同（2）的方法，即可得出结论【解答】解：（1）AMMN，CNMN，AMB=BNC=90，BAM+ABM=90，ABC=90，ABM+CBN=90，BAM=CBN，AMB=NBC，ABMBCN；（2）如图 2，过点 P 作 PFAP 交 AC 于 F，在 RtAFP 中，tanPAC=，同（1）的方法得，ABPPQF，=，设 AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=
47、2b（a0，b0），BAP=C，B=CQF=90，ABPCQF，CQ=2a，BC=BP+PQ+CQ=b+2a+2a=4a+b BAP=C，B=B=90，ABPCBA，=，BC=，4a+b=，a=b，BC=4b+b=b，AB=a=b，在 RtABC 中，tanC=；（3）在 RtABC 中，sinBAC=，过点 A 作 AGBE 于 G，过点 C 作 CHBE 交 EB 的延长线于 H，DEB=90，CHAGDE，=同（1）的方法得，ABGBCH，设 BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，AB=AE，AGBE，EG=BG=4m，GH=BG+BH=4m+3n，n=2m，EH=EG+GH=
48、4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在 RtCEH 中，tanBEC=【点评】此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，构造图 1 是解本题的关键 8（2018湖南省常德10 分）已知正方形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 O 点，点 M 在线段 BD 上，作直线 AM 交直线 DC 于 E，过 D 作 DHAE 于 H，设直线 DH 交 AC 于 N （1）如图 1，当 M 在线段 BO 上时，求证：MO=NO；（2）如图 2，当 M 在线段 OD 上，连接 NE，当 ENBD 时，求证：BM=AB；（3）在
49、图 3，当 M 在线段 OD 上，连接 NE，当 NEEC 时，求证：AN2=NCAC【分析】（1）先判断出 OD=OA，AOM=DON，再利用同角的余角相等判断出ODN=OAM，判断出DONAOM 即可得出结论；（2）先判断出四边形 DENM 是菱形，进而判断出BDN=22.5，即可判断出AMB=67.5，即可得出结论；（3）设 CE=a，进而表示出 EN=CE=a，CN=a，设 DE=b，进而表示 AD=a+b，根据勾股定理得，AC=（a+b），同（1）的方法得，OAM=ODN，得出EDN=DAE，进而判断出DENADE，得出，进而得出a=b，即可表示出 CN=b，AC=b，AN=ACCN
50、=b，即可得出结论【解答】解：（1）正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，OD=OA，AOM=DON=90，OND+ODN=90，ANH=OND，ANH+ODN=90，DHAE，DHM=90，ANH+OAM=90，ODN=OAM，DONAOM，OM=ON；（2）连接 MN，ENBD，ENC=DOC=90，NEC=BDC=45=ACD，EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，OD=OD，DM=CN=EN，ENDM，四边形 DENM 是平行四边形，DNAE，DENM 是菱形，DE=EN，EDN=END，ENBD，END=BDN，EDN=BDN，BDC=45，BDN=22.5，AHD
51、=90，AMB=DME=90BDN=67.5，ABM=45，BAM=67.5=AMB，BM=AB；（3）设 CE=a（a0）ENCD，CEN=90，ACD=45，CNE=45=ACD，EN=CE=a，CN=a，设 DE=b（b0），AD=CD=DE+CE=a+b，根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）的方法得，OAM=ODN，OAD=ODC=45，EDN=DAE，DEN=ADE=90，DENADE，a=b（已舍去不符合题意的）CN=a=b，AC=（a+b）=b，AN=ACCN=b，AN2=2b2，ACCN=bb=2b2 AN2=ACCN 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的
52、性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形 DENM 是菱形是解（2）的关键，判断出DENADE 是解（3）的关键 9.（2018山东泰安12 分）如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是 BD 上一点，EFAB，EAB=EBA，过点 B 作 DA 的垂线，交 DA 的延长线于点 G（1）DEF 和AEF 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）找出图中与AGB 相似的三角形，并证明；（3）BF 的延长线交 CD 的延长线于点 H，交 AC 于点 M求证：BM2=MFMH 【分析】（1）先判断出DEF
53、=EBA，AEF=EAB，即可得出结论；（2）先判断出GAB=ABE+ADB=2ABE，进而得出GAB=AEO，即可得出结论；（3）先判断出 BM=DM，ADM=ABM，进而得出ADM=H，判断出MFDMDH，即可得出结论，【解答】解：（1）DEF=AEF，理由：EFAB，DEF=EBA，AEF=EAB，EAB=EBA，DEF=AEF；（2）EOAAGB，理由：四边形 ABCD 是菱形，AB=AD，ACBD，GAB=ABE+ADB=2ABE，AEO=ABE+BAE=2ABE，GAB=AEO，GAB=AOE=90，EOAAGB；（3）如图，连接 DM，四边形 ABCD 是菱形，由对称性可知，BM
54、=DM，ADM=ABM，ABCH，ABM=H，ADM=H，DMH=FMD，MFDMDH，DM2=MFMH，BM2=MFMH 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，对称性，相似三角形的判定和性质，判断出EOAAGB 是解本题的关键 10.（2018山东潍坊12 分）如图 1，在ABCD 中，DHAB 于点 H，CD 的垂直平分线交 CD 于点 E，交 AB于点 F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5（1）如图 2，作 FGAD 于点 G，交 DH 于点 M，将DGM 沿 DC 方向平移，得到CGM，连接 MB 求四边形 BHMM的面积；直线 EF 上有一动点 N，求DNM 周长的
55、最小值（2）如图 3，延长 CB 交 EF 于点 Q，过点 Q 作 QKAB，过 CD 边上的动点 P 作 PKEF，并与 QK 交于点 K，将PKQ 沿直线 PQ 翻折，使点 K 的对应点 K恰好落在直线 AB 上，求线段 CP 的长 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；连接 CM 交直线 EF 于点 N，连接 DN，利用勾股定理解答即可；（2）分点 P 在线段 CE 上和点 P 在线段 ED 上两种情况进行解答【解答】解：（1）在ABCD 中，AB=6，直线 EF 垂直平分 CD，DE=FH=3，又 BF：FA=1：5，AH=2，RtAHDRtMHF，即，H
56、M=1.5，根据平移的性质，MM=CD=6，连接 BM，如图 1，四边形 BHMM的面积=；连接 CM 交直线 EF 于点 N，连接 DN，如图 2，直线 EF 垂直平分 CD，CN=DN，MH=1.5，DM=2.5，在 RtCDM 中，MC2=DC2+DM2，MC2=62+（2.5）2，即 MC=6.5，MN+DN=MN+CN=MC，DNM 周长的最小值为 9（2）BFCE，QF=2，PK=PK=6，过点 K作 EFEF，分别交 CD 于点 E，交 QK 于点 F，如图 3，当点 P 在线段 CE 上时，在 RtPKE中，PE2=PK2EK2，RtPEKRtKFQ，即，解得：，PE=PEEE
57、=，同理可得，当点 P 在线段 DE 上时，如图 4，综上所述，CP 的长为或【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析 11.（2018 年江苏省南京市）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作 AFDE，垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G（1）求证：AFGDFC；（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE=1，求O 的半径 【分析】（1）欲证明AFGDFC，只要证明FAG=FDC，AGF=FCD；（2）首先证明 CG 是直径，求出 CG 即可解决问题；【解答】（1）证明：在
58、正方形 ABCD 中，ADC=90，CDF+ADF=90，AFDE，AFD=90，DAF+ADF=90，DAF=CDF，四边形 GFCD 是O 的内接四边形，FCD+DGF=180，FGA+DGF=180，FGA=FCD，AFGDFC （2）解：如图，连接 CG EAD=AFD=90，EDA=ADF，EDAADF，=，即=，AFGDFC，=，=，在正方形 ABCD 中，DA=DC，AG=EA=1，DG=DAAG=41=3，CG=5，CDG=90，CG 是O 的直径，O 的半径为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添
59、加常用辅助线，属于中考常考题型 12.（2018新疆生产建设兵团12 分）如图，PA 与O 相切于点 A，过点 A 作 ABOP，垂足为 C，交O于点 B连接 PB，AO，并延长 AO 交O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值 【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接 OBB，证明 OBPE 即可（2）要求 sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可而 sinE 既可放在直角三角形EAP 中，也可放在直角三角形 EBO 中，所以利用相似三角形的性质求出 EP 或 EO
60、的长即可解决问题【解答】（1）证明：连接 OBPOAB，AC=BC，PA=PB 在PAO 和PBO 中 PAO 和PBO OBP=OAP=90 PB 是O 的切线（2）连接 BD，则 BDPO，且 BD=2OC=6 在 RtACO 中，OC=3，AC=4 AO=5 在 RtACO 与 RtPAO 中，APO=APO，PAO=ACO=90 ACOPAO=PO=，PA=PB=PA=在EPO 与EBD 中，BDPO EPOEBD=，解得 EB=，PE=，sinE=【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键 13（2018
61、四川宜宾10 分）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，D 为 BC 延长线一点，且 BC=CD，CEAD 于点 E（1）求证：直线 EC 为圆 O 的切线；（2）设 BE 与圆 O 交于点 F，AF 的延长线与 CE 交于点 P，已知PCF=CBF，PC=5，PF=4，求 sinPEF 的值 【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形【分析】（1）说明 OC 是BDA 的中位线，利用中位线的性质，得到OCE=CED=90，从而得到 CE 是圆 O的切线（2）利用直径上的圆周角，得到PEF 是直角三角形，利用角相等，可得到PEFPEA、PCFPAC，从而
62、得到 PC=PE=5然后求出 sinPEF 的值【解答】解：（1）证明：CEAD 于点 E DEC=90，BC=CD，C 是 BD 的中点，又O 是 AB 的中点，OC 是BDA 的中位线，OCAD OCE=CED=90 OCCE，又点 C 在圆上，CE 是圆 O 的切线（2）连接 AC AB 是直径，点 F 在圆上 AFB=PFE=90=CEA EPF=EPA PEFPEA PE2=PFPA FBC=PCF=CAF 又CPF=CPA PCFPAC PC2=PFPA PE=PC 在直角PEF 中，sinPEF=【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点利用
63、三角形相似，说明 PE=PC 是解决本题的难点和关键 14（2018四川自贡10 分）如图，在ABC 中，ACB=90（1）作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若O 的直径为 5，BC=4；求 DE 的长（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【分析】（1）作ABC 的角平分线交 AC 于 E，作 EOAC 交 AB 于点 O，以 O 为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题；（2）作 OHBC 于 H首先求出 OH、EC、BE，
64、利用BCEBED，可得=，解决问题；【解答】解：（1）O 如图所示；（2）作 OHBC 于 H AC 是O 的切线，OEAC，C=CEO=OHC=90，四边形 ECHO 是矩形，OE=CH=，BH=BCCH=，在 RtOBH 中，OH=2，EC=OH=2，BE=2，EBC=EBD，BED=C=90，BCEBED，=，=，DE=【点评】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 15（2018湖北黄石9 分）在ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与
65、 A、B、C 重合）（1）如图 1，若 EFBC，求证：（2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为ABC 的重心，求的值 【分析】（1）由 EFBC 知AEFABC，据此得=，根据=（）2即可得证；（2）分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H，据此知AFNACH，得=，根据=即可得证；（3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，由重心性质知 SABM=SACM、=，设=a，利 用（2）中 结 论 知=、=a，从 而 得=+a，结合=a 可关于 a
66、 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案【解答】解：（1）EFBC，AEFABC，=，=（）2=；（2）若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论仍然成立，分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H，FNAB、CHAB，FNCH，AFNACH，=，=；（3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，则 MN 分别是 BC、AC 的中点，MNAB，且 MN=AB，=，且 SABM=SACM，=，设=a，由（2）知：=，=a，则=+=+a，而=a，+a=a，解得：a=，=【点评】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的
67、判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点 16.（2018浙江宁波12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形 （1）已知ABC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BAC=ADC求证：ABC 是比例三角形（3）如图 2，在（2）的条件下，当ADC=90时，求的值【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1）根据比例三角形的定义分 AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC 三种情况分别代入计算可得；（2）先证ABCDCA 得 CA
68、2=BCAD，再由ADB=CBD=ABD 知 AB=AD 即可得；（3）作 AHBD，由 AB=AD 知 BH=BD，再证ABHDBC 得 ABBC=BHDB，即 ABBC=BD2，结合 ABBC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案【解答】解：（1）ABC 是比例三角形，且 AB=2、AC=3，当 AB2=BCAC 时，得：4=3AC，解得：AC=；当 BC2=ABAC 时，得：9=2AC，解得：AC=；当 AC2=ABBC 时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当 AC=或或时，ABC 是比例三角形；（2）ADBC，ACB=CAD，又BAC=ADC，ABCDCA，=，即 CA2=
69、BCAD，ADBC，ADB=CBD，BD 平分ABC，ABD=CBD，ADB=ABD，AB=AD，CA2=BCAB，ABC 是比例三角形；（3）如图，过点 A 作 AHBD 于点 H，AB=AD，BH=BD，ADBC，ADC=90，BCD=90，BHA=BCD=90，又ABH=DBC，ABHDBC，=，即 ABBC=BHDB，ABBC=BD2，又ABBC=AC2，BD2=AC2，=【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质 17.（2018 广 东 广 州 12 分）如 图，在 四 边 形 ABCD 中，B=C=90，AB CD
70、，AD=AB+CD（1）利用尺规作ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，证明：AEDE；若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值。【答案】（1）（2）证明：在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连接 EF，DE 平分ADC，FDE=CDE，在FED 和CDE 中，DF=DC，FDE=CDE，DE=DE FEDCDE（SAS），DFE=DCE=90，AFE=180-DFE=90 DEF=DEC，AD=AB+CD，DF=DC，AF=AB，在 RtAFERtABE（HL）AEB=AE
71、F，AED=AEF+DEF=CEF+BEF=（CEF+BEF）=90。AEDE 解：过点 D 作 DPAB 于点 P，由可知，B，F 关于 AE 对称，BM=FM，BM+MN=FM+MN，当 F，M，N 三点共线且 FNAB 时，有最小值，DPAB，AD=AB+CD=6，DPB=ABC=C=90，四边形 DPBC 是矩形，BP=DC=2，AP=AB-BP=2，在 RtAPD 中，DP=，FNAB，由可知 AF=AB=4，FNDP，AFNADP ，即，解得 FN=，BM+MN 的最小值为 【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作图基本作图，轴对称的应用-最短距离问题，相似三角形的判定
72、与性质 【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）在 AD 上取一点 F 使 DF=DC，连接 EF；角平分线定义得FDE=CDE；根据全等三角形判定 SAS 得FEDCDE，再由全等三角形性质和补角定义得DFE=DCE=AFE=90，DEF=DEC；再由直角三角形全等的判定 HL 得 RtAFERtABE，由全等三角形性质得AEB=AEF，再由补角定义可得 AEDE.过点 D 作 DPAB 于点 P；由可知，B，F 关于 AE 对称，根据对称性质知 BM=FM，当 F，M，N 三点共线且 FNAB 时，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN；在 RtAPD 中，根据勾股定理
73、得 DP=；由相似三角形判定得AFNADP，再由相似三角形性质得，从而求得FN，即 BM+MN 的最小值.18（2018广东深圳8 分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在CFE 中，CF=6,CE=12,FCE=45,以点 C 为圆心，以任意长为半径作 AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于 AD 长为半径做弧，交 于点 B,ABCD.（1）求证：四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形；（2）求四边形 ACDB 的面积.【答案】（1）证明：由已知得：AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：BC 是F
74、CE 的角平分线,ACB=DCB，又ABCD,ABC=DCB，ACB=ABC，AC=AB，又AC=CD,AB=DB,AC=CD=DB=BA，四边形 ACDB 是菱形，又ACD 与FCE 中的FCE 重合，它的对角ABD 顶点在 EF 上，四边形 ACDB 为FEC 的亲密菱形.（2）解：设菱形 ACDB 的边长为 x，CF=6,CE=12,FA=6-x，又ABCE,FABFCE,即，解得：x=4，过点 A 作 AHCD 于点 H,在 RtACH 中，ACH=45,sinACH=,AH=4=2,四边形 ACDB 的面积为：.【考点】菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）
75、依题可得：AC=CD,AB=DB,BC 是FCE 的角平分线,根据角平分线的定义和平行线的性质得ACB=ABC，根据等角对等边得 AC=AB，从而得 AC=CD=DB=BA，根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形 ACDB 是菱形；再根据题中的新定义即可得证.（2）设菱形 ACDB 的边长为 x，根据已知可得 CF=6,CE=12,FA=6-x，根据相似三角形的判定和性质可得，解得：x=4,过点 A 作 AHCD 于点 H,在 RtACH 中，根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH,再由四边形的面积公式即可得答案.19（2018 广 东 深 圳 9 分）如 图：在 中，BC=2,AB=AC，
76、点 D 为 AC 上 的 动 点，且.（1）求 AB 的长度；（2）求 ADAE 的值；（3）过 A 点作 AHBD，求证：BH=CD+DH.【答案】（1）解：作 AMBC，AB=AC,BC=2，AMBC，BM=CM=BC=1,在 RtAMB 中，cosB=,BM=1,AB=BMcosB=1=.（2）解：连接 CD，AB=AC,ACB=ABC，四边形 ABCD 内接于圆 O，ADC+ABC=180,又ACE+ACB=180,ADC=ACE，CAE=CAD，EACCAD，,ADAE=AC2=AB2=（）2=10.（3）证明：在 BD 上取一点 N，使得 BN=CD,在ABN 和ACD 中 ABN
77、ACD（SAS），AN=AD，AHBD，AN=AD，NH=DH,又BN=CD,NH=DH,BH=BN+NH=CD+DH.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）作 AMBC，由等腰三角形三线合一的性质得 BM=CM=BC=1,在 RtAMB 中，根据余弦定义得 cosB=,由此求出 AB.（2）连接 CD，根据等腰三角形性质等边对等角得ACB=ABC，再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得ADC=ACE；由相似三角形的判定得EACCAD，根据相似三角形的性质得；从而得 ADAE=AC2=AB2.（3
78、）在 BD 上取一点 N，使得 BN=CD,根据 SAS 得ABNACD，再由全等三角形的性质得 AN=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得 NH=DH,从而得 BH=BN+NH=CD+DH.20（2018广东深圳9 分）已知顶点为抛物线 经过点，点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，直线 AB 与 x 轴相交于点 M,y 轴相交于点 E，抛物线与 y 轴相交于点 F，在直线 AB 上有一点 P，若OPM=MAF,求POE 的面积；（3）如图 2，点 Q 是折线 A-B-C 上一点，过点 Q 作 QNy 轴，过点 E 作 ENx 轴，直线 QN 与直线 EN 相交于点 N，连接 QE，将
79、QEN 沿 QE 翻折得到QEN1 ，若点 N1 落在 x 轴上，请直接写出 Q 点的坐标.【答案】（1）解：把点 代入，解得：a=1,抛物线的解析式为：或.（2）解：设直线 AB 解析式为：y=kx+b,代入点 A、B 的坐标得：，解得：，直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），F（0，-），M（-，0），OE=1，FE=,OPM=MAF,当 OPAF 时，OPEFAE，OP=FA=,设点 P（t,-2t-1）,OP=,化简得：（15t+2）（3t+2）=0,解得，SOPE=OE,当 t=-时，SOPE=1=，当 t=-时，SOPE=1=，综上，POE 的面积为 或.（3）Q
80、（-，）.【考点】二次函数的应用，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设 Q（m，-2m-1）,N1（n，0），N（m,-1）,QEN 沿 QE 翻折得到QEN1 NN1中点坐标为（，），EN=EN1 ，NN1中点一定在直线 AB 上，即=-2-1,n=-m,N1（-m，0），EN2=EN12 ，m2=（-m）2+1，解得：m=-,Q（-，）.【分析】（1）用待定系数法将点 B 点坐标代入二次函数解析式即可得出 a 值.（2）设直线 AB 解析式为：y=kx+b,代入点 A、B 的坐标得一个关
81、于 k 和 b 的二元一次方程组，解之即可得直线 AB 解析式，根据题意得 E（0，-1），F（0，-），M（-，0），根据相似三角形的判定和性质得 OP=FA=,设点 P（t,-2t-1）,根据两点间的距离公式即可求得 t 值，再由三角形面积公式POE 的面积.（3）由（2）知直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设 Q（m，-2m-1）,N1（n，0），从而得 N（m,-1）,根据翻折的性质知 NN1中点坐标为（，）且在直线 AB 上，将此中点坐标代入直线 AB 解析式可得 n=-m,即 N1（-m，0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得 m2=（-m）2+1，解之即
82、可得Q 点坐标.21（2018广东9 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的O 经过点 C，连接 AC，OD 交于点 E（1）证明：ODBC；（2）若 tanABC=2，证明：DA 与O 相切；（3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长 【分析】（1）连接 OC，证OADOCD 得ADO=CDO，由 AD=CD 知 DEAC，再由 AB 为直径知 BCAC，从而得 ODBC；（2）根据 tanABC=2 可设 BC=a、则 AC=2a、AD=AB=，证 OE 为中位线知 OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得
83、DE=2a，再AOD 中利用勾股定理逆定理证OAD=90即可得；（3）先证AFDBAD 得 DFBD=AD2，再证AEDOAD 得 ODDE=AD2，由得 DFBD=ODDE，即=，结合EDF=BDO 知EDFBDO，据此可得=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得【解答】解：（1）连接 OC，在OAD 和OCD 中，OADOCD（SSS），ADO=CDO，又 AD=CD，DEAC，AB 为O 的直径，ACB=90，ACB=90，即 BCAC，ODBC；（2）tanABC=2，设 BC=a、则 AC=2a，AD=AB=，OEBC，且 AO=BO，OE=BC=a，AE=CE=AC=a，在AE
84、D 中，DE=2a，在AOD 中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，AO2+AD2=OD2，OAD=90，则 DA 与O 相切；（3）连接 AF，AB 是O 的直径，AFD=BAD=90，ADF=BDA，AFDBAD，=，即 DFBD=AD2，又AED=OAD=90，ADE=ODA，AEDOAD，=，即 ODDE=AD2，由可得 DFBD=ODDE，即=，又EDF=BDO，EDFBDO，BC=1，AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，=，即=，解得：EF=【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角
85、形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点 22（2018广西桂林12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+6(a0)与 x 轴交于点 A（-3，0）和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线 y 的函数表达式及点 C 的坐标；(2)点 M 为坐标平面内一点，若 MA=MB=MC，求点 M 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 E，使ABE=ACB？若存在，求出满足条件的所有点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=-2x2-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10）.【解析】分析：（1）根据抛物线过 A、B 两
86、点，待定系数法求解可得；（2）由（1）知抛物线对称轴为直线 x=-1，设 H 为 AC 的中点，求出直线 AC 的垂直平分线的解析式即可得解；（3）过点 A 作交 y 轴于点 F，交 CB 的延长线于点 D，证明 AOF COA，求得，分别求出直线 AF、BC 的解析式的交点，求出，根据ABE=ACB 求出ABE=2，易求 E 点坐标.详解：（1）把 A（-3，0）、B（1，0）代入 y=ax2+bx+6 得，解得 y=-2x2-4x+6,令 x=0，则 y=6,C(0，6)；（2）=-2（x+1）2+8,抛物线的对称轴为直线 x=-1.设 H 为线段 AC 的中点，故 H（，3）.设直线 A
87、C 的解析式为：y=kx+m，则有，解得，y=2x+6 设过 H 点与 AC 垂直的直线解析式为：，b=当 x=-1 时，y=M（-1，）（3）过点 A 作交 y 轴于点 F，交 CB 的延长线于点 D ACO+CAO=90,DAO+CAO=90 DAO=ACO ACO=ACO AOF COA OA=3,OC=6 直线 AF 的解析式为：直线 BC 的解析式为：，解得 ACB=ABE=ACB ABE=2 过点 A 作轴，连接 BM 交抛物线于点 E AB=4，ABE=2 AM=8 M（-3，8）直线 BM 的解析式为：，解得 y=6 E（-2，6）当点 E 在 x 轴下方时，过点 E 作，连接 BE，设点 E ABE=2 m=-4 或 m=1（舍去）可得 E（-4，-10）综上所述 E1（-2，6），E2（-4，-10）点睛：本题主要考查二次函数与轴对称、相似三角形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键
