1、2021年上期高一期末考试数学试卷注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 3. 设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知空间四点，共面，则的值为（ ）A. 4B. 1C. 10D. 115. 若，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知正数，满足，且恒成立，则的最大值为（ ）A
2、. B. C. 2D. 47. 新高考综合改革实施方案将采用“”模式，“3”为语文、数学、英语所有学生必考；“1”为必须在物理、历史中选一科；“2”为再选科目，考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响，选择各科是等可能的，则某同学选择含有地理学科组合的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）平面平面；平面；异面直线与所成角的取值范围是；三棱锥的体积不变.A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分
3、，部分选对的得2分.9. 已知，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数与，的图象的所有交点的横坐标之和为11. 4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛，每场比赛都能分出胜负），任两支球队之间胜率都是.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是（ ）A. 恰有四支球队并列第一名为不可能事件B. 有可能出现恰有三支球队并列第一名C. 恰有两支球队并列第一名的概率为D.
4、 只有一支球队名列第一名的概率为12. 数书九章是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）A. 的周长为B. 三个内角，满足C. 外接圆的直径为D. 的中线的长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
5、0分.13. 已知，则与的夹角为_.14. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为_.15. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现请利用甲、乙、丙的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：_.16. 阿基米德是古希腊的一位著名的数学家，有一种空间几何体便以他的名字命名为“阿基米德立体”.“阿基米德立体”是一种高度对称的“半正多面体”（如图），并且都是可以从正多面体经过截角、截半、截边等操作构造而成，它的所有顶点都是正多面体各棱的中点，且它的三个视图全都一样.现将一个棱长为的正方体木块
6、加工成一个“阿基米德立体”工艺品，则所得的“阿基米德立体”工艺品共有_个面，其表面积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在，且，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.已知中，三个内角，所对的边分别是，_.（1）求的值；（2）若，的面积是，点是的中点，求的长度.18. 已知函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.（1）设，分别为，的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.
7、20. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.21. 为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月
8、到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元.为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88，268，370，140，440，420，520，320，230，380.组别月用电量频数统计频数频率合计（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图：（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电
9、量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）设某用户11月用电量为度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请用表示和，并求当时，的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于的用户带来实惠？22. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒域区间”；（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2021年上期高一期末考试参考答案1.答案：B解析：，.故选B.2.答案：A解析：则，答
10、案：A【点睛】本题考查复数的运算，关键在于分母的实数化和共轭复数的使用，属于简单题.3.答案：B解析：存在实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选B.4.答案：D解析：依题意，得.四点共面，共面，存在实数，使得，即，解得5.答案：C解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为，所以.6.答案：B解析：因为正数x，y满足，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.若恒成立，则m的最大值为.故选B.7.答案：B解析：按照“”模式选科具体组合如下：（物理，
11、化学，生物）、（物理，化学，地理）、（物理，化学，政治）、（物理，生物，政治）、（物理，生物，地理）、（物理，政治，地理）、（历史，化学，生物）、（历史，化学，地理）、（历史，化学，政治）、（历史，生物，政治）、（历史，生物，地理）、（历史，政治，地理），共12种组合，其中含地理学科的组合有6种，所以某同学选择含地理学科组合的概率，故选B.8.答案：B解析：对于，如图，连接，根据正方体的性质，有平面平面，从而可以证明 平面平面，正确.如图，连接容易证 明平面平面，从而由线面平行的定义可得平面，正确.当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范
12、围是，错误.，到平面的距离不变，且三角形的面积不变，三棱锥的体积不变，正确.正确的命题为.故选B.9.答案：CD解析：因为，又所以所以C正确，B错误.因为，所以D正确，A错误.10.答案：CD解析：由题图可得，故，则，所以.又因为，所以，所以.又，所以，所以.当时，此时，所以的图象不关于点，故B中结论不正确.令，可得，即函数的一个单调递增区间为，故C中结论正确.令，则，或，即，或，.所以满足的交点的横坐标有0，和为，故D中结论正确.故选CD.11.答案：ABD解析：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支
13、或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中，其中第一类赢，有和两种情况，同理第二类赢，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.故选：ABD.12.答案：ABC解析：由正弦定理可得.设，解得的周长为，故A正确；由余弦定理得，故B正确；由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；由中线定理得，即，故
14、D错误.故选ABC.13.答案：解析：14.答案：3解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以，解得，故该组数据的平均数为.所以该组数据的方差为，即标准差为3.15.答案：解析：由三角形的面积公式，得甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，故，即.16.答案：14；解析：17.答案：选：由，得，得，得，又，所以，又，所以.因为，根据正弦定理得，所以，所以，所以.因为，所以，又，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，又，所以.（2）在中，由，得.由的面积为，得，所以.因为M是的中点，所以，从而，所以.18.答案：（1）易得.因为函数的图像与函数的图像关于y轴对称，所以，所以.（2）令.由，可得，
15、则，所以关于t的方程在上有解，故关于t的方程在上有解，又函数的值域为，所以，故实数m的取值范围为.解析：19.答案：（1）如图，连接BD，易知，.又，故.又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.（2）如图，取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得.又平面平面PCD，平面平面，所以平面PAC.又平面PAC，故.又，所以平面PCD.（3）如图，连接AN.由（2）中平面PAC，可知为直线AD与平面PAC所成的角.因为为等边三角形，且N为PC的中点，所以.又，在中，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.解析：20.答案：（1）甲连胜四场的概率为.（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五
16、场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：乙连胜四场的概率为；丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为.（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为.因此丙最终获胜的概率为.解析：21.答案：（1）频率分布表如下：组别月用电量频数频率40.04120.12240.24300.3260.2640.04合计1001频率分布直方图如下：（2）该100户用户11月的平均用电量：度，所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.（3），由，得或或解得，因为，所以x的最大值为423.根据频率分布直方图，时的频率为：，故估计“阶梯电价”能给不低于的用户带来实惠.22. 解析： （1）当时，.（2）设，在上递减，整理得，解得.在内的“倒域区间”为.（3）在时，函数值的取值区间恰为，其中，、同号.只考虑或，当时，根据的图像知，最大值为1，由（）知在内的“倒域区间”为；当，最小值为-1，同理知在内的“倒域区间”为.依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因此，应当使方程，在内恰有一个实数根并且使方程，在内恰有一个实数.由方程在内恰有一根知；由方程在内恰有一根知，综上：.