1、3集合的基本运算31交集与并集知识点一并集 填一填1并集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫作A与B的并集，记作AB，读作A并B.符号语言表示为：ABx|xA，或xB图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分2并集的运算性质(1)ABBA；(2)AAA；(3)AA；(4)ABA，ABB；(5)ABABB.答一答1“或”的数学内涵是什么？提示：“xA，或xB”包括了三种情况：xA，但xB；xB，但xA；xA，且xB.2AB的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？提示：不一定，用Venn图表示AB如下：当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的
2、元素在并集中只能出现一次，如上图中，AB的元素个数都小于A与B的元素个数的和知识点二交集 填一填1交集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A与B的交集，记作AB，读作A交B.符号语言表示为：ABx|xA，且xB图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分2交集的运算性质对于任何集合A，B，有(1)ABBA；(2)AAA；(3)A；(4)ABA，ABB；(5)ABABA.答一答3如何理解交集定义中“所有”两字的含义？提示：AB中的任一元素都是A与B的公共元素；A与B的所有公共元素都属于AB；当集合A与B没有公共元素时，AB.4当集合A与B没有公共元素时，A与B
3、就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时AB.5若ABA，则A与B有什么关系？ABA呢？提示：若ABA，则AB；若ABA，则BA.1对交集概念的四点说明(1)两个集合中所有相同的元素一定都在它们的交集中(2)交集中的元素一定是它们的公共的元素(3)用Venn图表示交集如下： (4)用数学语言表述交集的概念：ABx|xA，且xB2对并集概念的三点说明(1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的xA，或xB包含三种情况：xA，但xB；xB，但xA；xA且xB.
4、(2)用Venn图如下所示：因此AB是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合(3)用数学语言表示并集的概念：ABx|xA，或xB.类型一交集运算 【例1】(1)已知AxN|x5，BxN|x1，则AB等于()A1,2,3,4,5B2,3,4C2,3,4,5 DxR|10，Nx|0，则MN等于()Ax|1x1Cx|1x0x|x1，Nx|0x|x1在数轴上画出集合M和N，根据交集的定义，可得MNx|1x1，求AB.解：(1)A1,2,3，10，B1,3,5,7,9，AB1,3,5,7,9(2)A1,3，Bx|x1，或x1，AB3类型二并集运算 【例2】设集合A1,2,6，B2,4，则AB()A
5、2 B1,2,4C1,2,4,6 D2,4【思路探究】根据并集的定义求解，同时注意集合中元素的互异性【解析】A1,2,6，B2,4，AB1,2,62,41,2,4,6，故选C.【答案】C规律方法 “AB”是所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合要求AB，只需：把集合A，B中的元素合在一起；使A，B的公共元素在并集中只出现一次设集合Ax|1x2，集合Bx|1x3，则ABx|1x3解析：集合A，B在数轴上的位置如图所示：由图易知ABx|1x3类型三集合中交集和并集运算的综合应用 【例3】(1)满足A1,11,0,1的集合A共有()A10个 B8个C6个D4个(2)已知全集UR，Ax|
6、4x2，Bx|1x3，Px|x0或x求AB；(AB)P.【思路探究】1.题(1)中根据A1,11,0,1，如何确定集合A?2题(2)中的集合是无限集，求交集、并集时可借 助什么工具？【解析】(1)根据题意分析可得，集合A中必须有元素0，可能含有元素1或1，由此列举可得全部可能的集合，集合A可能为0，0,1，0，1，0,1，1，共有4个(2)解：因为Ax|4x2，Bx|1x3，所以ABx|1x2集合A，B在数轴上表示如图，由ABx|10，所以a33或3a13，解得a0或a.当a0时，A0,1，3，B3，1,1，AB3,13，所以a0舍去；当a时，A，3，B，3，AB3，符合题意综上可知a.(2)
7、当m0时，C，符合题意当m0时，C，所以3，所以m，综上，m0或m.类型四集合交集、并集的运算性质及应用 【例4】已知集合Ax|3x12，Bx|0xm9(1)若ABB，求实数m的取值范围；(2)若AB，求实数m的取值范围【思路探究】先化简集合A，B，再由集合的运算结果确定集合元素之间的关系，并借助数轴求解【解】由题意知Ax|2x3，Bx|mxm9(1)由ABB，得AB.在数轴上画出集合A，B，如图所示，有解得6m2.故实数m的取值范围是6m2.(2)若使AB，则m92或m3，解得m11或m3.故实数m的取值范围是m11或m3.规律方法 解决集合问题应注意：(1)认清元素的属性解决集合问题时，认
8、清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件(2)注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误(3)防范空集在解决有关AB，AB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解已知集合Ax|4x9，Bx|m1x2m1，若ABA，求m的取值范围解：由ABA，得BA.当B时，m12m1，则m2.当B时，则有4m12m19，转化为不等式组解得21，集合Ax|xa或x1，Bx|xa1若ABR，则a的取值范围为()Aa|1a2Ba|12Da|a2【错解】D或CA【正解】B因为Bx|
9、xa1ABR，所以Ax|xa1，又Ax|xa或x11a1，解得1a2；则a的取值范围为a|1a2【错因分析】处由A，B的并集是实数集，转化时搞错包含关系从而致误，而选C或选D.处容易漏掉等号，从而导致错选A.设集合Ax|a1xa1，Bx|1x5若AB，则实数a的取值范围为a0或a6.解析：因为AB，如图所示或所以a11，或a15，即a0，或a6.一、选择题1设集合P1,0,1，Q2,4，则PQ等于(A)AB2，1,0,1,4C4D0,1解析：P与Q没有公共元素，PQ，故选A.2满足条件M11,2,3的集合M的个数是(B)A1B2C3D4解析：把所有情况的M一一列举出来M可以是2,3，1,2,3
10、，故选B.3设集合Aa，b，Bb，c，d，则AB(D)AbBb，c，dCa，c，dDa，b，c，d解析：本题考查了集合的并集运算，Aa，b，Bb，c，d，ABa，b，c，d，属基础容易题二、填空题4设集合Ax|5x1，Bx|x2，则AB等于x|x2解析：借助于数轴分别画出集合A，B，如图，ABx|x25已知集合Ax|x2x60，Bx|x22x0，则AB2，AB3,0,2解析：A3,2，B0,2，AB2，AB3,0,2三、解答题6已知集合A0,2a1，a2，Ba5,1a,9，分别求适合下列条件的a值(1)9AB；(2)9AB.解：(1)9AB，9A且9B，2a19，或a29，a5，或a3.而当a3时，a51a2，故舍去所以a5，或a3.(2)9AB，由(1)得a5或a3.当a5时，A0,9,25，B0，4,9，AB0,9，不合题意当a3时，A0,5,9，B2，2,9，B中元素重复，不合题意当a3时，A0，7,9，B8,4,9AB9满足题意综上，a3.