1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1
2、，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A4B5C6D72、在自习课上，小芳同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠起来，她发现D、B两点均落在了对角线AC的中点O处，且四边形AECF是菱形若AB3cm，则阴影部分的面积为（）A1cm2B2cm2Ccm2Dcm23、如图，在中，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（）.ABCD4、如图，在RtABC中，ACB90， AB5，AC3，点D是BC上一动点，连接AD，将ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当DEB是直角时，DF的长为（）A5B3CD5、下列四组数中，是勾股数的是（）A5，12，13B4，5，
3、6C2，3，4D1，6、如图，在ABC中，BAC=90，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（）A5B9C16D257、如图，以RtABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S18cm2，S217cm2，则斜边AB的长是（）A3cmB6cmC4cmD5cm8、在ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A如果AB=C，那么ABC是直角三角形B如果a2=b2c2，那么ABC是直角三角形，且C=90C如果ABC=132，那么ABC是直角三角形D如果a2b2c2=91625，那么ABC是直角三角形9、如图所示的网格是正方形网格，A，
4、B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（）ABCD无法确定10、 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为A9B6C4D3第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为_2、等腰ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是_cm3、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高1
5、8cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为_cm（容器壁厚度忽略不计）4、如图所示，数轴上点A所表示的数为_5、如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_s三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m（1）这个梯子的顶端A
6、距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?2、数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式（1）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为 ，第二次列式为 ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ；在中，如果，请直接用题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别
7、为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，之间的数量关系3、（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米请
8、你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）4、已知：如图，四边形ABCD，A90，AD12，AB16，CD15，BC25（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积5、如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为(1)若，求的值(2)若，求单个直角三角形纸片的面积是多少？此时的值是多少？-参考答案-一、单选题1、A【解析】【详解】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A
9、【考点】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积2、D【解析】【分析】由菱形的性质得到FCOECO，进而证明ECOECBFCO30，2BECE，利用勾股定理得出BC，再解得菱形的面积为2 ，最后由阴影部分的面积 S菱形AECF解题【详解】解：四边形AECF是菱形，AB3，假设BEx，则AE3x，CE3x，四边形AECF是菱形，FCOECO，ECOECB，ECOECBFCO30，2BECE，CE2x，2x3x，解得：x1，CE2，利用勾股定理得出：BC2+BE2EC2，BC，又AEABBE312，
10、则菱形的面积是：AEBC2 阴影部分的面积 S菱形AECF cm2故选：D【考点】本题考查菱形的性质、勾股定理、含30直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键3、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出APBC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可【详解】解：如图，连接AP，AB=3，AC=4，BC=5，EAF=90，PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF，AP互相平分且EF=AP，EF，AP的交点就是M点当AP的值最小时，AM的值就
11、最小，当APBC时，AP的值最小，即AM的值最小APBC=ABAC，APBC=ABAC，AB=3，AC=4，BC=5，5AP=34，AP=，AM=故选：D【考点】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP的最小值4、C【解析】【分析】如图，由题意知，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，在中，由勾股定理得，计算求解即可【详解】解：如图，是直角由题意知，三点共线与重合在中，由勾股定理得设，在中，由勾股定理得即解得的长为故选C【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识解题的关键在于明确三点共线，与重合5、A【解
12、析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方【详解】解：A、52+122132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；B、42+5262，不是勾股数，故此选项不合题意；C、22+3242，不是勾股数，故此选项不合题意；D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：A【考点】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数6、D【解析】【分析】设，根据勾股定理可得，即可求解【详解】解：设，根据勾股定理可得，即两个正方形的面积和为25故选：D【考点】
13、本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键7、D【解析】【分析】根据正方形的面积可以得到BC28，AC217，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值【详解】解：S18cm2，S217cm2，BC28，AC217，ACB90，AB2BC2AC2，即AB281725，AB5cm，故选：D【考点】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方8、B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可【详解】解：A、A-B=C，ABC，ABC=180，A=90，ABC是直角三角形，此选项正确；B、如果a2=b2-c2，a2+c2=b2
14、，ABC是直角三角形且B=90，此选项不正确；C、如果A：B：C=1：3：2，设A=x，则B=3x，C=2x，则x+3x+2x=180，解得：x=30，则3x=90，ABC是直角三角形，此选项正确；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，ABC是直角三角形，此选项正确；故选：B【考点】本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形9、C【解析】【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、 CD的长，再由勾股定理的逆定理得到ACD为等腰直角三角形，同理可得ABC为等
15、腰直角三角形，即BAC= DAC【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD、BC，则，为等腰直角三角形，同理：，为等腰直角三角形，故选：C【考点】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识10、D【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，或（舍去），故选：D【考点】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型二、填空题1、2.5【解析】【
16、分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案【详解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，ACB=90，AB=5，点O为AB边的中点，CO=AB=2.5，故答案为：2.5【考点】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键2、8【解析】【详解】如图，AD是BC边上的高线AB=AC=10cm，BC
17、=12cm，BD=CD=6cm，在直角ABD中，由勾股定理得到：AD= = =（8cm）故答案为83、34【解析】【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【考点】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；4、【解析】【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长
18、，结合勾股定理求出斜边长，即可求出-1和A之间的线段的长，即可知A所表示的数【详解】图中直角三角形的两直角边为1，2，所以斜边长为，那么-1和A之间的距离为，那么数轴上点A所表示的数为：故答案为：【考点】本题考查实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长是解答本题的关键5、8【解析】【分析】过点A作ACON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间【详解】解：如图：过点A作ACON，AB=AD=200米，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，AC=120米，当
19、火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，AB=200米，AC=120米，由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，144千米/小时=40米/秒，影响时间应是：32040=8秒故答案为：8【考点】本题考查勾股定理的应用根据题意构建直角三角形是解题关键三、解答题1、（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解【详解】解：（1）由题意可知：，；，在中，由勾股定理得：，因此，这个梯子的顶端距地面有高（2）由图可知：AD=4m，在中，由勾股定理得：，答：梯子的底部在水
20、平方向滑动了【考点】此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解2、（1），；或，；9；（2）【解析】【分析】（1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；直接利用公式，再整体代入求值即可；（2）第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，再整理即可得到答案.【详解】解：（1）因为小正方形的边长为： 所以第一次计算的面积为：，第二次计算的面积为：，所以：； 或， （3）第一次利用梯形的面积公式图形面积为： 第二次利用图形的面积和计算为： 整理得： 【考点】本题考
21、查的是利用几何图形的面积推导代数公式，掌握等面积法推导两个完全平方公式之间的关系，推导勾股定理是解题的关键.3、（1）见解析；（2）见解析；（3）在四边形ABCD中，ABBC，DCBC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长；8米【解析】【分析】(1)将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2中，拼成边长为的正方形即可(2)根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；(3)根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，
22、可以根据勾股定理求出斜边的长即可【详解】解：（1）如图（2）= (3)如图，在四边形ABCD中，ABBC，DCBC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长解：过点D作DEAB，垂足为E ABBC，DCBCB=C=DEB=90四边形BCDE是矩形ED=BC=4，BE=DC=0.5设AB=，则AD=+0.5，AE=-0.5在RtAED中AD2=AE2+ED2(+0.5)2=(-0.5)2+42 解得：=8答：旗杆的高为8米【考点】本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型4、（1）BD20；（2）S四边形ABCD
23、246【解析】【分析】（1）由A90，AD12，AB16，利用勾股定理：BD2AD2+AB2，从而可得答案；（2）利用勾股定理的逆定理证明：CDB90，再由四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和可得答案【详解】解：（1）A90，AD12，AB16，BD2AD2+AB2，BD2122+162，BD20；（2）BD2+CD2202+152625，CB2252625，BD2+CD2CB2，CDB90，S四边形ABCDSRtABD+SRtCBD， 246【考点】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键5、 (1)(2)36；【解析】【分析】（1）设DE=CE=x，则BE
24、=4-x，依据SABE=ABDE=BEAC，即可得到x的值，进而得出S1的值（2）如图1，依据SABE=ABDE=BEAC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据SABN=ABHN=ANBC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=SCMF=SACM，所以S3=，即可求解(1)解：ACBCAB345，AC3，BC4，AB5，由折叠可得，DECE，ADEC90，ADAC3，设DECEx，则BE4x，SABEABDEBEAC，ABD
25、EBEAC，即5x3（4x），解得x，S1BDDE(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，ADE=C=90，SABE=ABDE=BEAC，ABDE=BEAC，即5xDE=（4x-DE）3x，解得DE=x，S1=BDDE=2xx=x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，AH=x，AN=3x-HN，SABN=ABHN=ANBC，ABHN=ANBC，即5xHN=（3x-HN）4x，解得HN=x，S2=AHHN=xx=x2，S1+S2=13，x2+x2=13，解得x2=6，SABC=3x4x=6x2=36答：单个直角三角形纸片的面积是36；如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，BF=BC-CF=4x-3x=x，S3=SCMF=SACM，S3=，答：此时S3的值为【考点】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度
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