1、选修4-1 几何证明选讲选修4-1 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质选修4-1 几何证明选讲 主干知识梳理 一、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等选修4-1 几何证明选讲二、平行线分线段成比例定理 定 理：三 条 平 行 线 截 两 条 直 线，所 得 的 对 应 线段推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例成比例选修4-1 几何证明选讲三、相似三角形的判定及性质1判定定理内容判定定理1对应相等，两三角形相似判定定理2对应成比例，两个三角形相似判定定理3对应成比例且相等，两三角形相似两角
2、三边两边夹角选修4-1 几何证明选讲2.性质定理内容性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于性质定理2相似三角形周长的比等于相似比性质定理3相似三角形的面积比等于推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比相似比的平方相似比的平方选修4-1 几何证明选讲四、直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项比例中项选修4-1 几何证明选讲基础自测自评1.(教材习题改编)如图，ABEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm.则BC的长为_选修4-1 几何证明选讲解析 ABEM
3、DCAEEDE 为 AD 中点，M 为 BC 的中点又 EFBCEFMC12 cm，BC2MC24 cm.答案 24 cm选修4-1 几何证明选讲2(教材习题改编)如图所示，BD、CE是ABC的高，BD、CE交于F.写出图中所有与ACE相似的三角形_解析 由RtACE与RtFCD和Rt ABD各有一个公共锐角，因而它们相似又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案 FCD，FBE，ABD选修4-1 几何证明选讲3如图，在ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么MON与AOC面积的比是_选修4-1 几何证明选讲答案 14选修4-1 几何证明选讲4.已知 abc，直线 m
4、、n 分别与直线 a、b、c 交于点 A、B、C 和点 A、B、C，如果 ABBC1，AB32，则 AC_.解析 ABBC，由平行线等分线段定理，知 BCAB32，ACABBC32323.答案 3选修4-1 几何证明选讲5在RtABC中，BAC90，ADBC，垂足为D.若BCm，B，则AD长为_解析 由射影定理，得AB2BDBC，AC2CDBC，即m2cos2BDm，m2sin2CDm，即BDmcos2，CDmsin2.又AD2BDDCm2cos2sin2，ADmcos sin.答案 mcos sin 选修4-1 几何证明选讲关键要点点拨1使用平行线截割定理时要注意对应线段、对应边对应成比例，
5、对应顺序不能乱2相似三角形判定定理的作用：(1)可以判定两个三角形相似(2)间接证明角相等、线段长成比例(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件选修4-1 几何证明选讲典题导入如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_平行线分线段成比例定理的应用 选修4-1 几何证明选讲听课记录 由 CD2，AB4，EF3，得 EF12(CDAB)，则EF 是梯形 ABCD 的中位线，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有相同的高，设为 h，于是两梯形的面积比为12(34)h12(23)h75.答案 7
6、5选修4-1 几何证明选讲互动探究本例条件“EF3”若变为“DEEA34”试求 EF 的长解析 如图，延长 AD、BC 交于点 P，CDAB，PDPACDAB12，选修4-1 几何证明选讲又DEEA34，DEAD37.PDPE 710.又PDPECDEF，EF107 CD207.选修4-1 几何证明选讲规律方法比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的选修4-1 几何证明选讲跟踪训练1(1)(2014泉州模拟)如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和
7、BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离为_米选修4-1 几何证明选讲解析 E，F 分别是 BA 和 BC 的中点，EFAC 且 EF12AC，AC46.答案 46选修4-1 几何证明选讲(2)(2013陕西高考)如图，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P，已知AC，PD2DA2，则 PE_.解析 PEBC，CPED.又CA，故APED.又PP，故PEDPAE，则PEPAPDPE，PE2PAPD.选修4-1 几何证明选讲又 PD2DA2，PAPDDA3，PE2326，PE 6.答案 6选修4-1 几何证明选讲典题导
8、入(2013新课标全国高考)如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆相似三角形的判定及性质 选修4-1 几何证明选讲(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值选修4-1 几何证明选讲听课记录(1)证明：因为 CD 为 ABC 外接圆的切线，所以DCBA，由题设知BCFADCEA，故 CDBAEF，所以DBCEFA.因为 B，E，F，C 四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此 CA 是 ABC 外
9、接圆的直径选修4-1 几何证明选讲(2)如图，连接 CE，因为CBE90，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DBBE，有 CEDC，又 BC2DBBA2DB2，所以 CA24DB2BC26DB2.而 DC2DBDA3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值为12.选修4-1 几何证明选讲规律方法1相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系2注意辅助线的添加，多数作平行线3相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的直径等选修4-1 几何证明
10、选讲跟踪训练2.如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD2DA2，则PE_.选修4-1 几何证明选讲解析 利用三角形相似求解BCPE，CPED.CA，APED.在PED 和PAE 中，PEDA，PP，PEDPAE，PEPAPDPE.PAPDDA3，PD2，选修4-1 几何证明选讲PE2PAPD326，PE 6.答案 6选修4-1 几何证明选讲典题导入(2012陕西高考)如图，在圆 O 中，直径AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为F，若 AB6，AE1，则 DFDB_.听课记录 连接 AD，由射影定理可知 ED2AEEB155，又易知
11、EBD 与FED 相似，得 DFDBED25.答案 5射影定理的应用 选修4-1 几何证明选讲规律方法1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2证题时，作垂线构造直角三角形是解该问题的常用方法选修4-1 几何证明选讲跟踪训练3(1)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4，BD8，则圆O的半径等于_解析 在RtACB中，由射影定理得CD2ADDB,428AD，AD2，ABADDB10，所以圆的半径等于5.答案 5选修4-1 几何证明选讲(2)(2013湖北高考)如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，点D在半径OC上的射影为E.
12、若AB3AD，则CEEO的值为_选修4-1 几何证明选讲解析 设 AD2，则 AB6，于是 BD4，OD1.如图，由射影定理得CD2ADBD8.则 CD2 2.选修4-1 几何证明选讲在 RtOCD 中，DEODCDOC12 232 23.则 CE DC2DE288983，EOOCCE38313.因此CEEO83138.答案 8选修4-1 几何证明选讲【创新探究】巧构相似三角形求面积之比(2014广东揭阳一模)如图所示，AB是O的直径，过圆上一点E作切线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB2，CE4，则AD的长为_选修4-1 几何证明选讲【解析】设 r 为O 的半径，由
13、 CE2CACB，解得 r3.连接 OE，又RtCOERtCAD，由COCAOEAD，解得 AD245.【答案】245选修4-1 几何证明选讲【高手支招】借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边选修4-1 几何证明选讲体验高考(2013天津高考)如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_选修4-1 几何证明选讲解析 AE 为圆的切线，由切割线定理，得 AE2EBED.又 AE6，BD5，可解得 EB4.EAB 为弦切角，且 ABAC，EABACBABC.EABC.又 BDAC，四边形 EBCA 为平行四边形BCAE6，ACEB4.选修4-1 几何证明选讲由 BDAC，得ACFDBF，CFBFACBD45.又 CFBFBC6，CF83.答案 83