1、课时作业41空间几何体的表面积与体积一、选择题1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为(B)A. B.C16 D24解析：设球的半径为R，则S4R216，解得R2，则球的体积VR3.2已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(B)A1 cm B2 cmC3 cm D. cm解析：由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm)3现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为(B)A. B.C2 D3解析：设新的底
2、面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.4已知三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20，则三棱柱的体积为(A)A6 B12C12 D18解析：设球O的半径为R，则由4R220得R25，由题意知，此三棱柱为正三棱柱，且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在RtAOO1中，OOAOAO2R2，即22R25，又AO1BO2，所以AOBO，即222，由可得a21
3、2，h2，所以三棱柱的体积Vh6.故选A.5已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16，则其底面边长为(B)A18 B12C6 D4解析：如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球4R216，所以R2，所以OEOF2，OP4.在RtOPF中，PF2.因为OPFDPE，所以，得DE2，AD3DE6，ABAD12.故选B.6(多选题)已知A，B，C三点均在球O的表面上，ABBCCA2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(AD)A球O的表面积为6B球O的内接正方体的棱长为1C球O的外切正方体的棱长为D球O的内接正四面体的棱长为2解析：
4、设球O的半径为r，ABC的外接圆圆心为O，半径为R.易得R.因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，所以r2r2，得r2.所以球O的表面积S4r246，选项A正确；球O的内接正方体的棱长a满足a2r，显然选项B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b2r，显然选项C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足cr2，选项D正确二、填空题7(2019江苏卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是10.解析：因为长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，所以CC1S四边形ABCD120，又E是CC1的中点，所以三棱锥EBCD的体积VEBCDE
5、CSBCDCC1S四边形ABCD12010.8如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则.解析：由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.9一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.解析：设六棱锥的高为h，则VSh，所以46h2，解得h1.设六棱锥的斜高为h，则h2()2h2，故h2.所以该六棱锥的侧面积为22612.10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB1，APBB
6、AD，则三棱锥PAOB的外接球的体积是.解析：四边形ABCD是菱形，ACBD，即OAOB.PB平面ABCD，PBAO，又OBPBB，AO平面PBO，AOPO，即PAO是以PA为斜边的直角三角形PBAB，PAB是以PA为斜边的直角三角形，三棱锥PAOB的外接球的直径为PA.PB1，APB，PA2，三棱锥PAOB的外接球的半径为1，三棱锥PAOB的外接球的体积为.三、解答题11现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库
7、的容积是多少？解：由PO12 m知，O1O4PO18 m因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)故仓库的容积是312 m3.12如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，CD2AB2EF4，M为DF的中点现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如图所示的多面体在图中，(1)证明：EFMC；(2)求三棱锥MABD的体积解：(1)证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，AB
8、CD，E，F分别为AB，CD的中点，EFCD.折叠后，EFDF，EFCF.DFCFF，EF平面DCF.又MC平面DCF，EFMC.(2)易知AEBE1，DFCF2，DM1，MF1AE.又AEMF，四边形AEFM为平行四边形AMEF，故AMDF.平面BEFC平面AEFD，平面BEFC平面AEFDEF，且BEEF，BE平面AEFD.VMABDVBAMDSAMDBE121.即三棱锥MABD的体积为.13已知在四面体ABCD中，ADDBACCB1，则该四面体的体积的最大值为.解析：如图，设AB的中点为P，连接PC，PD，因为ADDB，ACCB，所以ABPD，ABPC，又PCPDP，所以AB平面PCD.
9、设AB2x(0x1)，则PCPD.于是，V三棱锥ABCDV三棱锥APCDV三棱锥BPCDSPCDAPSPCDBPSPCDAB2x()2sinCPDx()2.设函数f(x)x()2(xx3)，0x1，则f(x)x2，所以当0x0；当x1时，f(x)0.所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)maxf.从而V三棱锥ABCD，当且仅当sinCPD1且x，即平面ABD平面ABC且AB时，不等式取等号故所求四面体的体积的最大值为.14如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E为CD的中点，将ADE沿AE折到APE的位置(1)证明：AEPB；(2)当四棱锥PABCE的体
10、积最大时，求点C到平面PAB的距离解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.ABCE，ABCE，四边形ABCE为平行四边形，AEBCADDE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如图，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)当四棱锥PABCE的体积最大时，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPOB，PB，APAB1，SPAB，连接AC，则VPABCOPSABC，设点C到平面PAB的距离为d，VPABCVCPABSPABd，d.