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河北省沧州市2020届高三一模数学(理)试题 WORD版含解析.doc

1、2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上.1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合和,即可根据交集的运算求出.【详解】,而,故选:B【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题.2.设(是虚数单位),则( )A. B. 1C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出【详解】,故选:A【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应

2、用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题3.已知等差数列的前项和为,则( )A. 25B. 32C. 35D. 40【答案】C【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得【详解】设等差数列的首项为,公差为,则,解得,即有故选:C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前项和公式的应用,属于容易题4.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,分组,绘成频率分

3、布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,由频率分布直方图可知,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.5.已知函数的图象如图所示,则可以为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图象可知,函数为奇函数,以及函数在上单调递增,且有一个零点,即可对选项逐个验证即可得出【详解】

4、首先对4个选项进行奇偶性判断,可知,为偶函数,不符合题意,排除B;其次,在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意,排除D;然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意,排除C.故选:A【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于容易题6.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为,可得,在等式两边平方得,

5、化简得.故选:A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.7.已知为等比数列,则( )A. 9B. 9C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时, ;当时, ,.故选:C【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.8.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为( )A. B.

6、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,因此,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.9.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.【详解】,即,即,即,即有.,即

7、,.综上, .故选:D【点睛】本题主要考查对数的运算性质, 换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.10.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,可得,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算

8、,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.11.已知函数(,),将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的部分图象如图所示,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,再由, 所以,将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,.,令,则,显然,是的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式

9、的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.12.2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成

10、员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意分别求出事件A:检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B:检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.【详解】设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危户”,.即设,则当且仅当即时取等号,即.故选:A【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的

11、概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若、满足约束条件,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,即点,平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数

12、形结合思想的应用,属于基础题.14.已知函数为奇函数,则_.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.15.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在

13、角音阶的同侧,可排成_种不同的音序.【答案】32【解析】【分析】按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.【详解】若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有种;若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧;若“角”在第二个或第四个位置上,则有种;综上,共有种.故答案为:32【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.16.在三棱锥中,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的

14、表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示:过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.易证面,而三角形为等边三角形, 为的中点.设, .故三棱锥的体积为当且仅当时,即.三点共线.设三棱锥的外接球的球心为,半径为.过点作于,四边形为矩形.则,在中,解得.三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:【点睛】本题主要考查三棱锥的外

15、接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.如图,在中,点在线段上.(1)若,求的长;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出;(2)分别在和中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即可求出,再根据余弦定理求出,即可根据求出的面积【详解】(

16、1)由,得,所以.由正弦定理得,即,得.(2)由正弦定理,在中,在中,又,由得,由余弦定理得,即,解得,所以的面积.【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题18.如图,在四棱柱中,底面为菱形,.(1)证明:平面平面;(2)若,是等边三角形,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明平面即可由为菱形可得,连接和与的交点,由等腰三角形性质可得,即能证得平面;(2)由题意知,平面,可建立空间直角坐标系,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,再分别

17、求出平面的法向量,平面的法向量,即可根据向量法求出二面角的余弦值【详解】(1)如图,设与相交于点,连接,又为菱形,故,为的中点.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等边三角形,可得,故平面,所以,两两垂直.如图以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.不妨设,则,则,设为平面的法向量,则即可取,设为平面的法向量,则即可取,所以.所以二面角的余弦值为0.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的应用,以及利用向量法求二面角,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和数学运算能力,属于基础题19.某工厂生产一种产品的

18、标准长度为,只要误差的绝对值不超过就认为合格,工厂质检部抽检了某批次产品1000件,检测其长度,绘制条形统计图如图:(1)估计该批次产品长度误差绝对值数学期望;(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取2件,假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时,该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列,再根据期望公式即可求出;(2)由(1)可知,任取一件产品是标准长度的概率为0.4,即可求出随

19、机抽取2件产品,都不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品,至少有1件是标准长度产品的概率,判断其是否符合生产要求;当不符合要求时,设生产一件产品为标准长度的概率为,可根据上述方法求出,解,即可得出最小值.【详解】(1)由柱状图,该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表:00.010.020.030.04频率0.40.30.20.0750.025所以的数学期望的估计为.(2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4,设至少有1件是标准长度产品为事件,则,故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为,由题意,又,解得,所以符合要求时,生

20、产一件产品为标准长度的概率的最小值为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法,相互独立事件同时发生的概率公式的应用,对立事件的概率公式的应用,解题关键是对题意的理解,意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力,属于基础题20.已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据题意得出关于、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理

21、,消去,可得出点的横坐标,进而可得出结论.【详解】(1)由题意得,解得,.所以椭圆的方程是;(2)设直线的方程为,、,由,得.,则有,由,得,由,可得,综上,点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.21.设函数,是函数导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究

22、其在上的单调性,由,即可求出的取值范围【详解】(1)若,则,设,则,故函数是奇函数当时,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,又,所以当时,满足题意;当时,有,与条件矛盾,舍去; 当时,令,则,又,故在区间上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,因此在上单调递增.,所以.于,当时,得,与条件矛盾.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学

23、建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)把曲线向下平移个单位,然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线(纵坐标不变),设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以得,进而可化简得出曲线的直角坐标方程;(2)根据变换得出的

24、普通方程为,可设点的坐标为,利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.【详解】(1)由(为参数),得,化简得,故直线的普通方程为.由,得,又,.所以的直角坐标方程为;(2)由(1)得曲线的直角坐标方程为,向下平移个单位得到,纵坐标不变,横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为,所以曲线的参数方程为(为参数).故点到直线的距离为,当时,最小为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化,同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解,考查计算能力,属于中等题.23.已知,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.【答案】(1)见解析;(2)最大值为.【解析】【分析】(1)将函数表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;(2)由可得出,并将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可得出实数的最大值.【详解】(1).当时,函数单调递减,则;当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递增,则.综上所述,所以;(2)因为恒成立,且,所以恒成立,即.因为,当且仅当时等号成立,所以,实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中等题.

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