1、2.1.1 合情推理一、选择题1数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33 D27答案B解析由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12故x201232.2观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案B解析观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n1(nN*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n1项，右边是(2n1)2，即n
2、(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.3下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形答案C解析从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适4观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()ABCD答案A解析图形涉及、三种符号；其中与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色符号，即应画上才合适5已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S，可推知扇形面积公式S扇等于()A BC D不可类比答案C解析我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，S扇lr
3、.6如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点该青蛙从5这点跳起，经2015次跳跃后它将停在的点是()A1B2C3D4答案B解析记an表示青蛙第n次跳跃后所在的点数，则a11，a22，a34，a41，a52，a64，显然an是一个周期为3的数列，故a2015a22，答案为B二、填空题7(2015河南浚县高二期中测试)已知：sin230sin290sin2150；sin25sin265sin2125，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_.答案sin2sin2(
4、60)sin2(120)解析观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即306090，9060150；56065，6560125.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin2sin2(60)sin2(120).8(2015新疆兵团农二师华山中学高二期末)在ABC中，不等式成立，在四边形中不等式成立，在五边形中成立，猜想在n边形A1A2An中有不等式：_成立答案解析不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n2)，故在n边形A1A2An中有不等式成立9在平面几何里有射影定理：设ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2BDBC拓展到空间，在四面体ABCD中，D
5、A平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC三者面积之间关系为_.答案SSOBCSDBC解析将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面积可得SSOBCSDBC三、解答题10设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数(1)求f(4)；(2)当n4时，求f(n)(用n表示)解析(1)如图所示，可得f(4)5.(2)f(3)2，f(4)5f(3)3
6、，f(5)9f(4)4，f(6)14f(5)5.每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(n)f(n1)n1，累加得f(n)f(3)345(n1)2345(n1)(n1)(n2)一、选择题1把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是()A27 B28C29 D30答案B解析后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，故第七个三角形数为21728.2如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A白色 B黑色C白色的可能性大 D黑色的可能性大答案A解析由图
7、知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36571，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色3.(2015长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A BC D答案C解析将ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到
8、三棱锥体积公式中系数，从而可知选C证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.4对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数是b，则ab_.答案30解析根据图中的“分裂”规律，可知a21，b9，故ab30.二、填空题5已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为_.答案a1a2a3a929解析等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a1a2a3a929.6观察下列等式111据此规律，第n个等式可为_.答案1.解析等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得三、解答题7已知数列an的前n项和为Sn，a11且Sn120(n2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式解析当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2；S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN*)8.若a1、a2R，则有不等式2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广解析本例可以从a1、a2的个数以及指数上进行推广第一类型：()2，()2，()2；第二类型：()3，()4，()n；第三类型：()3，()m.上述a1、a2、anR，m、nN*.
