1、高三12月月考数学试卷（问卷）（满分：150分，时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知复数z=5+3i1-i，则下列说法正确的是()A. z的虚部为4i ； B. z在复平面内对应的点在第二象限； C. |z|=5 ； D.z的共轭复数为1-4i2.已知集合，则AB=( )3.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k4.892，参照附表，得到的正确结论是() P(K2k)0.100.050.025k2.7063.8415.024A. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有97.5%以上的把握认为“爱
2、好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”4.易经是中国传统文化中的精髓如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为()A. 114B.514C. 528D. 175.若函数f(x)=ax-a-x(a0且a1)在R上为减函数，则函数y=loga(|x|-1)的图象可以是()A. B. C. D.6.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，
3、则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为()A. 22 B. 24C. 36D. 207.已知定义在R上的函数y=f(x)满足：函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，且当x(-,0)时，f(x)+xf(x)acB. abcC. cabD. acb二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9.给出下列命题，其中正确命题为()A. 若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为2,3，则回归直线的方程为y=0.25x+2.5B. 随机变量B(n,p)，若E=30，D=20，则n=90C. 随机变量X服从正态分布N1,2，PX1.5=0.34，则PX0,b0)的一条渐近线被圆x2+y2-6x
4、=0截得的弦长为25，则双曲线的离心率为355.12.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A. BM平面PCD ; B. PA/平面MBDC. 四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36 ； D. 三棱锥M-PAD的体积为6.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量a,b夹角为45，且a=1,2a-b=10，则b=_14.在(x+3x)n的的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则在(x+3x)n的展开式中x2系数为_15.已知tantan+4=-23，则sin2+4的
5、值是_16.已知点P在曲线y=4ex+1上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围为_ 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17题（满分10分）. 已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足b2+c2-a2=c(acosC+ccosA)()求角A的大小；() 若ABC的面积为433，a=3，求ABC的周长18题（满分12分）. 设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN*)，bn是等差数列已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6()求an和bn的通项公式；()设数列Sn的前n项和为Tn(nN*)，(i)求Tn；(ii)证明k=1n(Tk+b
6、k+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(nN*).19题（满分12分）.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1ECD，AB=2BC=2 (1)求证：平面CC1D1D底面ABCD；(2)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为3，求直线CA1和平面BCC1B1所成角的正弦值20.题（满分12分） 2019年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元(含800元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖
7、盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元(1)若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21题（满分12分）. 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图
8、，已知P(2,3)，Q(2,-3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由22.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围高三数学12月月考卷解答题答案一 单项选择题（每小题5分，共40分）题号12345678选项DDDBCCBC二 多项选择题（每小题5分，共20分）题号9101112选项ABDBDBCDBCD三 填空题（每小题5分，共20分） 四、解答题（本大题
9、共6小题，）17题（10分）已知ABC的内角X的对边分别为X，满足b2+c2a2=c(acosC+ccosA)()求角A的大小；(若ABC的面积为433，a=3，求ABC的周长【答案】解：()b2+c2a2=c(acosC+ccosA)，由余弦定理得，b2+c2a2=c(aa2+b2c22ab+cb2+c2a22bc)，化简得，b2+c2a2=bc，cosA=b2+c2a22bc=12，又0A，A=3()S=12bcsinA=12bc32=433，bc=163，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc2bccosA解得b+c=5ABC的周长为a+b+c=8【解析】()由
10、余弦定理化简已知等式得b2+c2a2=bc，可求cosA的值，结合范围0A0，可得q=2故an=2n1设等差数列bn的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，b1=d=1故bn=n；()(i)解：由()，可得Sn=12n12=2n1，故Tn=k=1n(2k1)=k=1n2kn=2(12n)12n=2n+1n2；(ii)证明：(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1k2+k+2)k(k+1)(k+2)=k2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+22k+1k+1k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(233222)
11、+(244233)+(2n+2n+22n+1n+1)=2n+2n+22【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查利用裂项相消法求和，是中档题()设等比数列an的公比为q，由已知列式求得q，则数列an的通项公式可求；等差数列bn的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；()(i)由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列Sn的前n项和Tn；(ii)化简整理(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)，再由裂项相消法证明结论19题（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD和
12、侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1ECD，AB=2BC=2 (1)求证：平面CC1D1D底面ABCD；(2)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为3，求直线CA1和平面BCC1B1所成角的正弦值【答案】解：(1)证明：底面ABCD和侧面SCC1B1都是矩形，BCCD，BCCC1CDCC1=C，BC平面DCC1D1D1E平面DCC1D1，BCD1E，D1ECD，BCCD=C，D1E底面ABCDD1E平面DCC1D1，平面CC1D1D底面ABCD(2)取AB的中点FE是CD的中点，底面ABCD是矩形，EFCD以E为原点，以EF、EC、ED1所在直线分别为x，y，z轴，建
13、立空间直角坐标系Exyz如图所示设ED1=a(a0)，则E(0,0，0)，B(1,1，0)，D1(0,0，a)，C(0,1，0)，C1(0,2，a)设平面BED1的法向量n1=(x1,y1,z1)，EB=(1,1,0)，ED1=(0,0,a)由n1EB=0n1ED1=0可得x1+y1=0az1=0,令x1=1可得y1=1，z1=0，n1=(1,1,0)设平面BCC1B1的法向量n2=(x2,y2,z2)，CB=(1,0,0)，CC1=(0,1,a)由n2CB=0n2CC1=0可得，x2=0y2+az2=0，令z2=1可得y2=a，n2=(0,a,1)由于平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二
14、面角的平面角为3，所以|cos|=n1n2|n1|n2|=a2a2+1=cos3解得a=1平面BCC1B1的法向量n2=(0,1,1)，由于A(1,1,0)，C(0,1，0)，D(0,1,0)，D1(0,0，1)，所以CA1=CA+AA1=CA+DD1=(1,2,0)+(0,1,1)=(1,1,1)，设直线CA1和平面BCC1B1所成的角为，则sin=|CA1n2|CA1|n2|=1+123=63【解析】本题重点考查面面垂直的判定、二面角和线面角，考查推理能力和计算能力，属于一般题(1)通过求证D1E底面ABCD，即可求证平面CC1D1D底面ABCD；(2)建立空间直角坐标系，设ED1=a(a
15、0)，由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为3求出a，再次利用向量法即可求直线CA1和平面BCC1B1所成角的正弦值20题（12分）2019年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元(含800元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球
16、，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元(1)若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】解：(1)选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则P(A)=C33C103=1120，所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)P(A)=114400；(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000；计算P(X=0)=C33C103=1120,P(X=600)=C32C71C103=740，P
17、(X=700)=C31C72C103=2140,P(X=1000)=C73C103=724，故X的分布列为：X06007001000P11207402140724所以E(X)=01120+600740+7002140+1000724=76416(元)；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则Z=1000200Y，由已知可得YB(3,310)，故E(Y)=3310=910，所以E(Z)=E(1000200Y)=1000200E(Y)=820(元)，因为E(X)b0)，抛物线的焦点为(0,23).b=23由ca=12，a2=c2+b2，得a=4，椭圆C的方程为x216+y212=1(
18、2)设A(x1,y1)，B(x2,y2).设直线AB的方程为y=12x+t，代入x216+y212=1，得x2+tx+t212=0，由0，解得4tb0)，易得b=23.由题意可以求得a=4，进而即可求解；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2).设出直线AB的方程与椭圆联立，可得|x1x2|=483t2.进而可得四边形APBQ的面积S=3483t2，即可求其最值；若APQ=BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为y3=k(x2)，由y3=k(x2),x216+y212=1消去y，可得kAB=y1y2x1x2=k(x1+x2)4kx1
19、x2=12，直线AB的斜率为定值1222题（12分）已知函数f(x)=x2(2a+1)x+alnx(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)恰好有两个零点，求实数a的取值范围【答案】解：(1)f(x)=2x(2a+1)+ax=2x2(2a+1)x+ax=(2x1)(xa)x(x0)，当a0时，xa0，故由f(x)0得0x0得x12，所以f(x)在0,12上单调递减，在12,+上单调递增；当a0时，由f(x)=0得x=12或x=a，()若0a12，则由f(x)0得ax0得0x12，f(x)在(0,a)上单调递增，在a,12上单调递减，在12,+上单调递增；()若a=12，则由f(x)=
20、(2x1)22x0，f(x)在(0,+)上单调递增；()若a12，则由f(x)0得12x0得0xa，f(x)在0,12上单调递增，在12,a上单调递减，在(a,+)上单调递增(2)当a=0时，f(x)=x2x，在定义域(0,+)内仅有1个零点，不满足题意；当a=12时，由(1)知f(x)在定义域(0,+)内递增，不满足题意；当0a12时，由(1)知f(x)极小值=f12f(x)极大值=f(a)=a2a+alna12时，由(1)知f(x)极小值=f(a)f(x)极大值=f12=14aaln20，所以f(x)在(0,a)上不存在零点；又在(a,+)上单调递增，不满足题意；当a0时，由(1)知，f(
21、x)在x=12时取得最小值f12=14aaln2由f1214(1+ln2)，故14(1+ln2)a0，设h(x)=x2(2a+1)x，由二次函数的性质知，h(x)ha+12=a2a14，所以，f(x)=x2(2a+1)x+alnxa2a14+alnx，因为a0，a+1a2，故0ea+1ae212，所以当0x0，f(1)=2a0，所以，f(x)在0,12内有唯一零点；在12,+内有唯一零点，综上，当f(x)恰好有两个零点时，实数a的取值范围是14(1+ln2),0【解析】本题主要考查根据导函数求解函数的单调性和零点，属于较难题(1)首先对函数求导进行因式分解，然后讨论a的值判断单调性(2)将函数零点问题转化为函数的根的问题，将a移到等式的一边，另一边构成新的函数，再求解新函数的单调性，即可求解