1、2018-2019学年高二第二学期期中考试数学试题（理）一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24【答案】B【解析】设共有 个车站，在个车站中，每个车站之间都有2种车票，相当于从个元素中拿出 个进行排列，共有 ， ，故选B.2.满足条件的复数对应点的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 线段【答案】A【解析】【分析】设复数z=x+yi，结合复数模定义可得z对应点的轨迹.【详解】设复数z=x+yi，则：，结合题意有：，整理可得：.即复数对应点的轨迹是直线.故选：A.【
2、点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用对立事件概率公式可得满足题意的概率值.【详解】设甲乙丙回家分别为事件A,B,C，至少1人回老家过节为事件D，则：.故选：C.【点睛】本题主要考查对立事件计算公式，属于中等题.4.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ）A. 三个内角都不大于B. 三个内角都大于C.
3、三个内角至多有一个大于D. 三个内角至多有两个大于【答案】B【解析】【分析】由“至少有一个”的否定为“一个也没有”即可得解.【详解】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”故选：B【点睛】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定5.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）A. 144种B. 96种C. 48种D. 34种【答案】B【解析】试题分析：首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有两
4、种，又A只能出现在第一步或者最后一步，故总的编排方法为种，故选B考点：1计数原理；2排列组合【思路点睛】对于某些元素要求相邻排列的问题，先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素（同时对相邻元素内部进行自排），再与其它元素进行排列；对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）6.已知，则（ ）A. -180B. 45C. -45D. 180【答案】D【解析】试题分析：，因此其展开式的通项为，令，得，故答案为D考点：二项式定理的应用7.已知方程是根据女大学生的身高预报体重的回归方程，其中，的单
5、位分别是，则该方程在样本处的残差是（ ）A. 54.55B. 3.45C. 2.45D. 111.55【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得预测值，然后计算残差即可.【详解】由回归方程可得当身高为165cm时，体重的预测值为：，故样本的残差值为：.故选：C.【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，残差的计算，属于基础题.8.独立性检验中，假设：变量与变量没有关系，则在上述假设成立的情况下，估算概率，表示的意义是（ ）A. 变量与变量有关系的概率为B. 变量与变量没有关系的概率为C. 变量与变量没有关系的概率为D. 变量与变量有关系的概率为【答案】D【解析】【分析】由题意结合独立性检验的结论考
6、查两变量的关系即可.【详解】若估算概率，则犯错概率不超过0.01，即变量与变量有关系的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查独立性检验的思想及其应用，属于基础题.9.现有三种类型的卡片各10张，这些卡片除类型不同外其他全部相同，现把这三种类型的卡片分给5个人，每人一张，要求三种类型的卡片都要用上，则分法的种数为（ ）A. 150B. 75C. 30D. 300【答案】A【解析】【分析】由题意结合加法原理和平均分组问题的处理方法可得满足题意的分法的种数.【详解】分法可分为两类：第一类，5人中有3人卡片类型相同，则分法有种；第二类，5人中各有2人卡片类型相同，则分法有种.所以由分类加法计数原理得，
7、分法的种数为60+90=150.故选：A.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法10.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立.设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则（ ）A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.3【答案】C【解析】【分析】首先
8、确定随机变量X所服从的分布列，然后结合分布列的计算公式可得p的值.【详解】由题意可知：，则：，解得：或0.6，则：，整理可得：，故.故选：C.【点睛】本题主要考查二项分布的数学期望公式，二项分布的概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别写出n=k和n=k+1是的等式，然后确定左边需要添加的项即可.【详解】当n=k时，要证明的等式为：，当n=k+1时，要证明的等式为：，左边需要添加的项为.故选：D.【点睛】本题主要考查数学归纳法的概念与应用，属于基础题.12.若函数
9、y=f（x）在区间D上是增函数，且函数y=在区间D上是减函数，则称函数f（x）是区间D上的“H函数”对于命题：函数f（x）=-x+是区间（0，1）上的“H函数”；函数g（x）=是区间（0，1）上的“H函数”下列判断正确的是（）A. 和均为真命题B. 为真命题，为假命题C. 为假命题，为真命题D. 和均为假命题【答案】C【解析】【分析】对于，求得函数f（x）=-x+的导数，即可判断单调性；对于，函数g（x）=即为g（x）=，考虑y=-x在（0，1）上y0，且递减，可得g（x）单调性，再由y=在（0，1）的单调性，可判断结论【详解】函数f（x）=-x+的导数为f（x）=-1+，可得f（x）在（0，
10、）递增，在（，1）递减，不满足新定义，不是区间（0，1）上的“H函数”；函数g（x）=即为g（x）=，由y=-x在（0，1）上y0，且递减，可得g（x）在（0，1）递增；又y=在（0，1）递增，则g（x）是区间（0，1）上的“H函数”，则为假命题，为真命题，故选：C【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的判断，注意运用导数和性质，考查运算能力，属于基础题二、填空题。13.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是_【答案】【解析】方法一：基本事件全体男男，男女，女男，女女，记事件A为“有一个女孩”，则P(A)，记事件B
11、为“另一个是男孩”，则AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)，故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率P(B|A).方法二：记有一个女孩的基本事件的全体男女，女男，女女，则另一个是男孩含有基本事件2个，故这个概率是.14.某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生分数服从正态分布.若分数在内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为_【答案】150【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性可得考试分数不超过70的人数.【详解】由题意可知正态分布的对称轴为，据此可估计这次考试分数不超过70的人数为：.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(
12、X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.15.已知的展开式中含项的系数为-14，则_【答案】4【解析】【分析】首先写出的通项公式，然后结合题意得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】由二项式展开式的通项公式可知的展开式为：，分别令，结合题意可得项的系数为：，故，解得：.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解
13、的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解16.，经计算得，推测当时，有_【答案】【解析】试题分析：已知，变形为，因此可归纳一般式为考点：归纳推理【名师点睛】本题考查归纳推理，归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.对与本题类似的与自然数有关的命题，主要是想象归纳每一项与它的项数所在的联系三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.实数取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3
14、）纯虚数？（4）表示复数的点在复平面的第四象限？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】试题分析：根据复数的概念及几何意义易得.（1）当复数z是实数时，解得；（2）当复数z是虚数时，解得；（3）当复数z是纯虚数时，且，解得；（4）当复数z表示的点位于第四象限时，且,解得.试题解析：解：（1）当，即时，复数z是实数；（2）当，即时，复数z是虚数；（3）当，且时，即时，复数z是纯虚数；（4）当且,即时，复数z表示的点位于第四象限。考点：复数的概念及几何意义.18.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.（1）若没有一个盒子空
15、着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【答案】（1）119种（2）31种【解析】【分析】(1)利用间接法可得满足题意的方法数.(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意方法数.【详解】（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：种.（2）分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有种；第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编
16、号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.【点睛】本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知，是虚数单位，.（1）如果展开式中倒数第3项的系数是-180，求的值；（2）对（1）中的，求展开式中系数为正实数的项.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】(1)由题意得到关于n的方程，解方程可得n的值；(2)结合(1)中求得的n的值，得到展开式的通项公式，然后整理计算可得展开式中系数为正实数的项.【详解】（1）由已知，得，即
17、，所以，又，解得.（2）展开式的通项为，因为系数为正实数，且，所以.代入通项公式可得所求的项为，.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及其应用，分类讨论的数学思想，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间
18、超过4个小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用22列联表求.试题解析：（1）由，所以应收集90位女生的样本数据。 （2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为
19、0.75. （3）由（2）知，300位学生中有3000.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得有95的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众
20、数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和【此处有视频，请去附件查看】21.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分：方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大
21、？【答案】（1）（2）两人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.【解析】【分析】(1)由题意结合对立事件概率公式可得满足题意的概率值；(2)分别求得两人选择方案甲和方案乙的分布列，然后计算其均值，最后比较均值的大小即可.【详解】（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分”为事件，则事件的对立事件为“”，因为 ， 所以，即这2人的累计得分的概率为.（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为，都选择方案乙所获得的累计得分为，则，的分布列为:024036所以，因为，所以两人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.【点睛】本题主要考查独立事
22、件概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.在平面直角坐标系中，已知曲线：与曲线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知：与，的公共点分别为，当时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，求得的极坐标方程.先将的参数方程消参得到直角坐标方程，再根据求得的极坐标方程.（2）将代入的极坐标方程，求得的表达式，代入，由此计算出的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即.曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知， ，由，知，当，
23、.【点睛】本小题主要考查直角坐标方程、参数方程转化为极坐标方程的方法，考查利用极坐标的概念求解有关边长比值的问题，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，去掉绝对值，解关于各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出的最大值，问题转化为，从而求出的取值范围【详解】（1）当时，当时，解得；当时，解得；当时，解得；综上可知，原不等式的解集为.（2）由题意可知在上恒成立，当时， ，从而可得，即，且，因此.本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向