1、第八章 平面解析几何 第七节 抛物线 第八章 平面解析几何 主干知识梳理 一、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的相等的点准线第八章 平面解析几何 二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形范围x0，yRx0，yR第八章 平面解析几何 对称轴x 轴顶点坐标原点 O(0，0)标准方程y22px(p0)y22px(p0)焦点坐标p2，0p2，0 第八章 平面解析几何 准线方程xp2xp2 离心率e1图形 第八章 平面解析几何 范围标准方程x22py(p0)x22py(p0)对称
2、轴顶点坐标原点O(0，0)y0，xRy0，xRy轴第八章 平面解析几何 焦点坐标0，p20，p2 准线方程yp2yp2 离心率e1第八章 平面解析几何 基础自测自评1(教材习题改编)抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则 a 的值是()A.18 B18C8 D8B 抛物线的标准方程为 x21ay.则 a0 且 2 14a，得 a18.第八章 平面解析几何 2(2014济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x24y291 的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()Ax24 5yBy24 5xCx24 13yDy24 13x解析 由椭圆方程知，a29，b24，焦点在 y 轴上，下焦点坐标为(0，c)，其
3、中 c a2b2 5，抛物线焦点坐标为(0，5)，抛物线方程为 x24 5y.答案 A第八章 平面解析几何 3已知倾斜角为 60的直线 l 通过抛物线 x24y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为()A4 B6C10 D16D 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点 F(0，1)，准线方程是 y1，直线 l：y 3x1，由y 3x1，x24y，消去 x 得 y214y10，y1y214，|AB|AF|BF|(y11)(y21)(y1y2)216.第八章 平面解析几何 4(2014郑州模拟)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F
4、，且与 y 轴相交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为_解析 依题意得，|OF|a4，又直线 l 的斜率为 2，可知|AO|2|OF|a2，AOF 的面积等于12|AO|OF|a2164，则 a264.又 a0，所以 a8，该抛物线的方程是 y28x.答案 y28x第八章 平面解析几何 5设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是_解析 其准线方程为 x2，又由点 P 到 y 轴的距离为 4，则 P 点横坐标 xP4，由定义知|PF|xPp26.答案 6第八章 平面解析几何 关键要点点拨1抛物线方程中，字母p的几何意义是
5、抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助2用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用3由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可p2第八章 平面解析几何 典题导入(1)(2013江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x24y的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 5 B12C1 5D13抛物线的定义及应用 第八章 平面解析几何 听课记录 射线 FA 的方程为 x2y20(x0)如图所示，知 tan 12，sin 55.由抛物线的定义知|M
6、F|MG|，|FM|MN|MG|MN|sin 55 15.答案 C第八章 平面解析几何(2)(2014福州质检)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B3C.5D.92第八章 平面解析几何 听课记录 记抛物线 y22x 的焦点为 F12，0，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的
7、最小值就等于焦点F 到点(0，2)的距离因此所求的最小值等于12222 172，选 A.答案 A第八章 平面解析几何 互动探究在本例条件下，求点 P 到点 A(3，2)的距离与点 P 到抛物线焦点 F距离之和的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标解析 将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6.62，A 在抛物线内部 设抛物线上点 P 到准线 l：x12的距离为 d，由定义知|PA|PF|PA|d，第八章 平面解析几何 当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为72，即|PA|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，P 点的坐标为(2，2)第八章 平面解
8、析几何 规律方法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解第八章 平面解析几何 跟踪训练1(2012安徽高考)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A，B 两点若|AF|3，则|BF|_解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1，0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点 A 到准线x1 的距离为 3，点 A 的横坐标为 2.将 x2 代入 y24x 得 y28，由图知，y2 2，A(2，2 2)，直线 AF 的方程为 y2 2(x1)第八章 平面解析几何 又y2 2（x1），y24x，解得x12，y 2，或x2，y2
9、2.由图知，点 B 的坐标为12，2，|BF|12(1)32.答案 32第八章 平面解析几何 典题导入(1)(2013新课标全国高考)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x抛物线的标准方程及几何性质第八章 平面解析几何 听课记录 设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x0p25，则 x05p2.又点 F 的坐标为p2，0，所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0)xp2(yy0)y0.将 x0，y2 代入得 p
10、x084y00，即y2024y080，所以 y04.由 y202px0，得 162p5p2，解之得 p2，或 p8.第八章 平面解析几何 所以C的方程为y24x或y216x，故选C.答案 C第八章 平面解析几何(2)(2012四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|()A2 2B2 3C4 D2 5第八章 平面解析几何 听课记录 依题意，设抛物线方程是 y22px(p0)，则有 2p23，得 p2，故抛物线方程是 y24x，点 M 的坐标是(2，2 2)，|OM|2282 3.答案 B第八章 平面解
11、析几何 规律方法1求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式2研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用第八章 平面解析几何 跟踪训练2(2014南京模拟)已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线与 y 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一点，且|NF|32|MN|，则NMF_第八章 平面解析几何 解析 如图，过 N 作准线的垂线，垂足为 H，则|NF|NH|32|MN|，cosMNH 32，MNH6，NMF6.答案 6第八章 平面解析几何 典题导入(2013辽宁高考)如图，抛物线 C1：x24y，C2：x22py(p0
12、)点M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当 x01 2时，切线 MA 的斜率为12.直线与抛物线的位置关系 第八章 平面解析几何(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)第八章 平面解析几何 听课记录(1)因为抛物线 C1：x24y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 yx2，且切线 MA 的斜率为12，所以 A 点坐标为1，14，故切线 MA 的方程为 y12(x1)14.因为点 M(1 2，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是 y012(2 2)1
13、432 24，y0（1 2）22p32 22p.第八章 平面解析几何 由得 p2.(2)设 N(x，y)，Ax1，x214，Bx2，x224，x1x2，由 N 为线段 AB 中点知 xx1x22，yx21x228.切线 MA，MB 的方程为 yx12(xx1)x214，yx22(xx2)x224，第八章 平面解析几何 由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为 x0 x1x22，y0 x1x24，因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x204y0，所以 x1x2x21x226.由得 x243y，x0.当 x1x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x24
14、3y.因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x243y.第八章 平面解析几何 规律方法1设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行第八章 平面解析几何 2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p 2psin2(为 AB 的倾斜角)(3)SAOBp22sin(为 AB 的倾斜角)(
15、4)1|AF|1|BF|为定值2p.(5)以 AB 为直径的圆与准线相切 第八章 平面解析几何(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90.第八章 平面解析几何 跟踪训练3已知抛物线 C 的顶点为 O(0，0)，焦点为F(0，1)(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A，B 两点若直线 AO，BO分别交直线 l：yx2 于 M，N 两点，求|MN|的最小值解析(1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x22py(p0)，则p21，所以抛物线 C 的方程为 x24y.第八章 平面解析几何(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 ykx
16、1.由ykx1，x24y消去 y，整理得 x24kx40，所以 x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4 k21.由yy1x1x，yx2，解得点 M 的横坐标 xM 2x1x1y1 2x1x1x21484x1.第八章 平面解析几何 同理点 N 的横坐标 xN84x2.所以|MN|2|xMxN|284x184x2 8 2x1x2x1x24（x1x2）16 8 2 k21|4k3|.令 4k3t，t0，则 kt34.第八章 平面解析几何 当 t0 时，|MN|2 225t2 6t12 2.当 t0 时，|MN|2 25t352162585 2.综上所述，当 t253，即 k43时，|MN|的最
17、小值是85 2.第八章 平面解析几何【创新探究】直线与抛物线的综合应用 (2013湖南高考)过抛物线 E：x22py(p0)的焦点F 作斜率分别为 k1，k2 的两条不同直线 l1，l2，且 k1k22.l1与 E 相交于点 A，B，l2 与 E 相交于点 C，D，以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N(M，N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10，k20，证明：FM FN2p2；(2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为7 55，求抛物线 E 的方程第八章 平面解析几何【思路点拨】(1)表示出直线方程代入抛物线方程，利用向量数量积的坐标运算求解；(2)求出两圆M，N的方程以及
18、它们的相交弦方程，然后利用点到直线的距离公式以及函数思想求解第八章 平面解析几何【解析】(1)证明：由题意，抛物线 E 的焦点为 F0，p2，直线l1 的方程为 yk1xp2.由yk1xp2，x22py得 x22pk1xp20.设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x2 是上述方程的两个实数根从而 x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pk21p.第八章 平面解析几何 所以点 M 的坐标为pk1，pk21p2，FM(pk1，pk21)同理可得点 N 的坐标为pk2，pk22p2，FN(pk2，pk22)于是FMPNp2(k1k2k21k22)由题设，k1
19、k22，k10，k20，k1k2，所以 0k1k2k1k2221.故FMFNp2(112)2p2.第八章 平面解析几何(2)由抛物线的定义得|FA|y1p2，|FB|y2p2，所以|AB|y1y2p2pk212p，从而圆 M 的半径 r1pk21p.故圆 M 的方程为(xpk1)2ypk21p22(pk21p)2，化简得 x2y22pk1xp(2k211)y34p20.同理可得圆 N 的方程为 x2y22pk2xp(2k221)y34p20.第八章 平面解析几何 于是圆 M，圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为(k2k1)x(k22k21)y0.又 k2k10，k1k22，则 l 的方程为
20、x2y0.因为 p0，所以点 M 到直线 l 的距离 d|2pk21pk1p|5p|2k21k11|5 p2k1142785.故当 k114时，d 取最小值 7p8 5.第八章 平面解析几何 由题设，7p8 57 55，解得 p8.故所求的抛物线 E 的方程为 x216y.第八章 平面解析几何【高手支招】解决抛物线综合问题时要重视定义在解题中的应用，灵活处理点点距和点线距之间的相互转化，并注意数形结合思想方法的应用处理直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，注意“设而不求”方法的运用第八章 平面解析几何 体验高考(理)(2013福建高考)如图，在正方形OABC中
21、，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9.连 接 OBi，过 Ai 作 x 轴 的 垂 线 与 OBi 交 于 点 Pi(iN*，1i9)第八章 平面解析几何(1)求证：点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程第八章 平面解析几何 解析 解法一：(1)依题意，过 Ai(iN*，1i9)且与 x 轴垂直的直线的方程为 xi，Bi 的坐标为(10，i)，所以直线 OBi 的方程
22、为 y i10 x.设 Pi的坐标为(x，y)，由xi，y i10 x，得 y 110 x2，即 x210y.所以点 Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x210y.第八章 平面解析几何(2)依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx10.由ykx10，x210y，得 x210kx1000，此时 100k24000，直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点M，N.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x210k，x1x2100.因为 SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又 x1x20，所以 x14x2，第八章 平面解析几何 分别代
23、入和，得3x210k，4x22100，解得 k32.所以直线 l 的方程为 y32x10，即 3x2y200 或 3x2y200.第八章 平面解析几何 解法二：(1)点 Pi(iN*，1i9)都在抛物线 E：x210y 上 证明如下：过 Ai(iN*，1i9)且与 x 轴垂直的直线的方程为 xi，Bi 的坐标为(10，i)，所以直线 OBi 的方程为 y i10 x.由xi，y i10 x，解得 Pi 的坐标为i，i210.因为点 Pi 的坐标都满足方程 x210y，所以点 Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x210y.(2)同解法一第八章 平面解析几何(文)(
24、2013福建高考)如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径第八章 平面解析几何 解析(1)抛物线 y24x 的准线 l 的方程为 x1.由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为(1，2)，所以点 C 到准线 l 的距离 d2，又|CO|5，所以|MN|2|CO|2d22 542.第八章 平面解析几何(2)设 Cy202，y0，则圆 C 的方程为xy2042(yy0)2y4016y20，即x2y202xy22y0y0.由 x1，得 y22y0y1y2020，设 M(1，y1)，N(1，y2)，则4y2041y202 2y2040，y1y2y2021.第八章 平面解析几何 由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以y20214，解得 y0 6，此时 0.所以圆心 C 的坐标为32，6 或32，6，从而|CO|2334，|CO|332，即圆 C 的半径为 332.第八章 平面解析几何 课时作业
