1、题型专题检测(十五)空间向量与立体几何1已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C. D.2(2015贵阳市监测考试)如图，点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN 的条数有()A0条 B1条C2条 D无数条3在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_4(2015沈阳市质量监测)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BC
2、AC，BAC，AC4，点M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为_5(2015山西省考前质量检测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD， ABCD，ADCD，ADAB1，BC.(1)求证：平面PBD平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值6(2015兰州市诊断考试)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1BC；(2)若直线
3、DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值7(2015陕西高考)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值8(2015北京海淀模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，ACBDO，PAC是边长为2的等边三角形，PBPD，AP4AF.(1)求证：PO底面ABCD.(2)求直线CP与平面BDF所成角的大小(3)在线段PB上是否存在一点
4、M，使得CM平面BDF?如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由答 案1.选B如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知，PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tanPAO，PAO.2.选B假设存在满足条件的直线MN，如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，设M(x，y，z)，m(0m1)，(x2，y，z2)m(1,2，2)，x2m，y2m，z22m，M(2m,2m,22m)，同理，若设n (0n1)，可
5、得N(2n,2n,2n)，(m2n2,2n2m,2mn)又MN平面ABCD.解得即存在满足条件的直线MN，且只有一条3.解析：以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0，1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)，平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.故所成的锐二面角的余弦值为.答案：4.解析：由题意，以C为原点，以AC边所在直线为x轴，以BC边所在直线为y轴，以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为a，由BAC，AC4，得BC4，
6、所以A(4,0,0)，B(0,4，0)，C(0,0,0)，A1(4，0，a)，B1(0,4，a)，C1(0,0，a)，M， P，Q.所以(1,2，0)， (4,0,0)设异面直线QP与CA所成的角为，所以|cos |，由|1420004，|44，得|cos |.由sin2cos21得，sin2，所以sin ，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以sin 即为所求答案：5解：(1)证明：由ADCD，ABCD，ADAB1，可得BD.又BC，CD2，BCBD.PD底面ABCD，PDBC，又PDBDD，BC平面PBD，平面PBD平面PBC.(2)由(1)可知BPC为PC与平面PBD所成的角，tanBPC
7、，PB，PD1.由2及CD2，可得CH，DH.以点D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，H.，(1,1，1)，(1,1,0)设平面HPB的法向量为n(x1，y1，z1)，则即取y13，则n(1，3，2)设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，则即取x21，则m(1,1,2)又cosm，n，故二面角HPBC的余弦值为.6解：(1)证明：连接D1C，则D1C平面ABCD，D1CBC.在等腰梯形ABCD中，连接AC，AB2，BCCD1，ABCD，BCAC，又ACD1CC，BC平面AD1C，AD1BC.(2)
8、由(1)知，AC，BC，D1C两两垂直，ABCD，D1DC，CD1，D1C.在等腰梯形ABCD中，AB2，BCCD1，ABCD，AC，以C为原点， ，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，(，1,0)，(，0，)设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，由得可得平面ABC1D1的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量，因此cos，n，平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.7解：(1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题
9、图中，BEOA1，BEOC，OA1OCO，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如图，以O为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面
10、A1CD夹角的余弦值为.8解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，ACBDO，所以O为AC，BD的中点又因为PAPC，PBPD，所以POAC，POBD，所以PO底面ABCD.(2)由底面ABCD是菱形可得ACBD，又由(1)可知POAC，POBD.如图所示，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz.由PAC是边长为2的等边三角形，PBPD，可得PO，OBOD.所以A(1,0,0)，C(1,0,0)，B(0，0)，P(0,0，)所以(1,0，)，(1,0，)由已知可得.设平面BDF的法向量为n(x，y，z)则即令x1，则z，所以n(1,0，)因为cos，n.所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为.所以直线CP与平面BDF所成的角的大小为30.(3)设(01)，则(1，(1)，)若CM平面BDF，仅需n0，且CM平面BDF.即130，解得0,1所以在线段PB上存在一点M，使得CM平面BDF.此时.