1、第七章 平面解析几何考点测试50 两条直线的位置关系与距离公式第一部分 考点通关练高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为 5 分，中、低等难度考纲研读1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离第1步狂刷小题 基础练解析 由题意知 13aa2(a2)0，即 a(a22a3)0，解得 a0，a1 或 a3，经验证当 a3 时，两直线重合故选 D.答案解析一、基础小题1已知直线 xa2y60 与直线(a2)x3ay2a0 平行，则 a 的值为()A0 或 3 或1 B0 或 3C
2、3 或1 D0 或1解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解得 0a10，所以 a 的取值范围是0,10答案解析2已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是()A10,10 B10,5C5,5 D0,10解析 由直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直得，202m0，m10.因为直线 4x10y60 过点(t,1)，所以 4t1060，t1.又点(1,1)在直线 5x2yn0 上，所以52n0，n7.答案解析3已知直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直，垂足为(t,1)，
3、则 n 的值为()A7 B9 C11 D7解析 作出 A 点关于 x 轴的对称点 A(1，3)，则 AB 所在直线方程为 x4y130.令 y0 得 x13，所以点 P 的坐标为(13,0)答案解析4已知点 A(1,3)，B(5，2)，在 x 轴上有一点 P，若|AP|BP|最大，则 P 点坐标为()A(3.4,0)B(13,0)C(5,0)D(13,0)解析 直线 l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)的对称点为(0,2)又由于直线 l1：yk(x4)与直线 l2 关于点(2,1)对称，故直线 l2 恒过定点(0,2)答案解析5若直线 l1：yk(x4)与直线 l2 关于点
4、(2,1)对称，则直线 l2 恒过定点()A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)解析 因为 l1，l2 平行，所以 1n2(2)，1(6)2m，解得n4，m3，所以直线 l2 的方程为 x2y30.又 l1，l2 之间的距离是5，所以|m3|14 5，解得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2，故选 C.答案解析6若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn()A0 B1 C2 D1答案7直线 axy3a10 恒过定点 M，则直线 2x3y60 关于 M点对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y12
5、0解析 由 axy3a10，可得 a(x3)(y1)0，令x30，y10，可得 x3，y1，所以 M(3,1)，M 不在直线 2x3y60 上，设直线2x3y60 关于点 M 对称的直线方程为 2x3yc0(c6)，则|636|49|63c|49，解得 c12 或 c6(舍去)，所以所求方程为 2x3y120，故选 D.解析解析(x1)2(y1)2 表示点 P(x，y)到点 Q(1,1)的距离的平方由已知可得点 P 在直线 l：x2y50 上，所以|PQ|的最小值为点 Q 到直线 l的距离，即 d|1215|1222 55，所以(x1)2(y1)2 的最小值为 d245.故选 A.答案解析8已
6、知 x，y 满足 x2y50，则(x1)2(y1)2 的最小值为()A45B25C2 55D 105答案9已知 P1(a1，b1)与 P2(a2，b2)是直线 ykx1(k 为常数)上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组a1xb1y1，a2xb2y1的解的情况是()A无论 k，P1，P2 如何，总是无解B无论 k，P1，P2 如何，总有唯一解C存在 k，P1，P2，使之恰有两解D存在 k，P1，P2，使之有无穷多解解析 因为直线 ykx1 一定不过原点 O，P1，P2 是直线 ykx1 上不同的两点，所以OP1 与OP2 不平行，因此 a1b2a2b10，所以二元一次方程组a1xb1y1
7、，a2xb2y1一定有唯一解故选 B.解析答案10在平面直角坐标系 xOy(O 为坐标原点)中，不过原点的两直线 l1：xmy2m10，l2：mxym20 的交点为 P，过点 O 分别向直线 l1，l2 引垂线，垂足分别为 M，N，则四边形 OMPN 面积的最大值为()A3 B32C5 D52解析 将直线 l1 的方程变形得(x1)m(2y)0，由x10，2y0，得 x1，y2，则直线 l1 过定点 A(1,2)，同理可知，直线 l2 过定点 A(1,2)，所以，直线 l1 和直线 l2 的交点 P 的坐标为(1,2)，易知，直线l1l2，如图所示，易知，四边形 OMPN 为矩形，且|OP|1
8、222 5，设|OM|a，|ON|b，则 a2b25，解析四边形 OMPN 的面积为 S|OM|ON|aba2b2252，当且仅当ab，a2b25，即当 ab 102 时，等号成立，因此，四边形 OMPN 面积的最大值为52，故选 D.解析答案 25解析 由两直线互相平行可得 a(b3)2b，即 2b3aab，2a3b1.又 a，b 为正数，所以 2a3b(2a3b)2a3b 136ab 6ba 1326ab 6ba25，当且仅当 ab5 时取等号故 2a3b 的最小值为 25.答案解析11已知 a，b 为正数，且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b 的最小值
9、为_答案(4，)答案12如图，已知 A(2,0)，B(2,0)，C(0，2)，E(1,0)，F(1,0)，一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线 FD 的斜率的取值范围为_解析 从特殊位置考虑如图，因为点 A(2,0)关于直线 BC：xy2的对称点为 A1(2,4)，所以 kA1F4.又点 E(1,0)关于直线 AC：yx2 的对称点为 E1(2,1)，点 E1(2,1)关于直线 BC：xy2 的对称点为 E2(1,4)，此时直线 E2F 的斜率不存在，所以 kFDkA1F，即 kFD(4，)解析答案解析 圆的方
10、程可化为(x1)2(y4)24，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线 axy10 的距离为|a41|a21 1，解得 a43.故选 A.解析二、高考小题13(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C 3D2答案14(2015山东高考)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A53或35B32或23C54或45D43或34解析 如图，作出点 P(2，3)关于 y 轴的对称点 P0(2，3)由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点 P0.故设反射光线为 yk(x2
11、)3，即 kxy2k30.所以圆心到直线的距离 d|3k22k3|1k21，解得 k43或 k34.故选 D.解析答案15(2015广东高考)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程是()A2xy50 或 2xy50B2xy 50 或 2xy 50C2xy50 或 2xy50D2xy 50 或 2xy 50解析 设与直线 2xy10 平行的直线方程为 2xym0(m1)，因为直线 2xym0 与圆 x2y25 相切，即点(0,0)到直线 2xym0的距离为 5，所以|m|5 5，|m|5.故所求直线的方程为 2xy50 或 2xy50.故选 A.解析答案 4解析 解法一：由
12、题意可设 Px0，x04x0(x00)，则点 P 到直线 xy0的距离 dx0 x04x022x04x0222x0 4x024，当且仅当 2x04x0，即 x0 2时取等号故所求最小值是 4.答案解析16(2019江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4x(x0)上的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_解法二：设 Px0，4x0 x0(x00)，则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k14x20.令 14x201，结合 x00 得 x0 2，P(2，3 2)，曲线 yx4x(x0)上的动点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故
13、 dmin|23 2|24.解析答案解析 设 P(x,53x)，则 d|x53x1|1212 2，化简得|4x6|2，即 4x62，解得 x1 或 x2，故点 P 的坐标为(1,2)或(2，1)解析三、模拟小题17(2019济南一模)若点 P 在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)答案解析 当 a1 时，直线 l1：x2y10 与直线 l2：x2y40 的斜率都是12，截距不相等，两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a1 2a114，解得 a2 或 a1
14、，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选 C.解析18(2019九江高三模拟)设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()A充分必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件答案解析 当直线 PQ 与平行线 l1，l2 垂直时，|PQ|为平行线 l1，l2 间的距离的最大值，为 122232 34，所以 l1，l2 之间距离的取值范围是(0，34故选 D.解析19(2020云南昆明高三摸底考试)两条平行线 l1，l2 分别过点 P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2 之间距
15、离的取值范围是()A(5，)B(0,5C(34，)D(0，34答案解析 由题意可得直线 sinAxayc0 的斜率 k1sinAa，直线 bxsinBysinC0 的斜率 k2 bsinB，k1k2sinAa bsinB1，所以直线 sinAxayc0 与直线 bxsinBysinC0 垂直，故选 C.解析20(2019山东省实验中学模拟)设 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 所对的边，则直线 sinAxayc0 与 bxsinBysinC0 的位置关系是()A平行B重合C垂直D相交但不垂直答案解析 设点 C(t,t2)，直线 AB 的方程是 xy20，|AB|2 2.由于ABC 的
16、面积为 2，则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程122 2h2，即h 2.由点到直线的距离公式得 2|tt22|2，即|tt22|2，即 t2t22 或 t2t22.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点 C 有 4 个解析21(2019沈阳二模)已知 A(2,0)，B(0,2)，若点 C 在函数 yx2 的图象上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为()A4 B3 C2 D1答案22(2019岳阳模拟)已知动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且 Q(4,0)到动直线 l 的最大距离为 3，则 12a2c的最小值为()A92B94C1 D9解析
17、 因为动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)，所以 abmc20，设点 Q(4,0)到直线 l 的距离为 d，当 d|PQ|时取最大值，所以412m23，解得 m0.所以 ac2，则 12a2c12(ac)12a2c 1252 c2a2ac 12522c2a2ac 94，当且仅当 c2a43时取等号解析答案 6xy60答案23(2019安徽四校联考(二)已知入射光线经过点 M(3，4)，被直线l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析解析 设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M
18、，所以b4a31，3a2b42 30，解得 a1，b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.答案 6x8y10答案24(2019南京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1，再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，又与直线 l 重合若直线 l 与直线 l1 关于点(2,3)对称，则直线 l 的方程是_解析 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxb，将直线 l 沿 x 轴正方向
19、平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1：yk(x3)5b，将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，则平移后的直线方程为 yk(x31)b52，即 ykx34kb，b34kb，解得 k34，直线 l 的方程为 y34xb，直线 l1 的方程为 y34x114 b，取直线 l 上的一点Pm，b3m4，则点 P 关于点(2,3)的对称点为4m，6b3m4，6b3m4 34(4m)b114，解得 b18.直线 l 的方程是 y34x18，即 6x8y10.解析第2步精做大题 能力练一、高考大题本考点在近三年高考中未涉
20、及此题型二、模拟大题1(2019周口模拟)已知两直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 值(1)l1l2，且直线 l1 过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)因为 l1l2，所以 a(a1)b0.又因为直线 l1 过点(3，1)，所以3ab40.故 a2，b2.(2)因为直线 l2 的斜率存在，l1l2，所以直线 l1 的斜率存在所以ab1a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以 l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.联立可得 a2，b2 或 a23，b2.解解(1)设 A(x，y)，由题意知 y2x
21、1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413.所以 A3313，413.解2(2019北京东城区模拟)已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程(2)在直线 m 上取一点 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设 M(a，b)，则2a22 3b02 10，b0a2231.解得 M613，3013.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，解则由2x3y10，3x2y60，得 N(4,3)又因为 m经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.(3)设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，因为 P在直线 l 上，所以 2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.解本课结束